Il problema
Ci ho pensato qualche giorno nei momenti di buco e mi pare di aver trovato un modo più semplice per descrivere questa traiettoria, senza dover risolvere l’equazione vettoriale della dinamica. Propongo quindi il problema a Cloe, senza far caso al fatto che si trova sulla poltrona ad occhi chiusi: una pallina viene lanciata in avanti da un’auto in curva. Fino a che la pallina è nella mano (o meglio, nella zampa) del lanciatore sulla macchina, risente di una forza centripeta; ma nel momento in cui lascia la zampa, non c'è alcuna forza e prosegue su una linea retta, trascurando la resistenza dell’aria.
"Certo - mormora Cloe - la pallina non si porta certo dietro il movimento rotatorio! Niente forze, linea retta!"
Quindi nel sistema inerziale, per esempio il marciapiede, la traiettoria è una linea retta; se pongo l’asse \(y\) nella direzione del lancio, l’origine nel centro di rotazione dell’auto e l’asse \(x\) diretto verso l’esterno, la sua traiettoria, tangente alla circonferenza, è descritta dal vettore \[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}t \] dove \(\vec{r}_0 = (R,0,0)\) è la posizione iniziale al momento del lancio (\(t=0\)), mentre la velocità è data da \(\vec{v} = (0,v,0)\). R è il raggio della curva fatta dall’auto; quindi la posizione è data da \[ \vec{r}(t) = (R, vt, 0) \] L’asse \(z\) è diretto verso l’alto e rappresenta l’asse di rotazione. Con la normale notazione cartesiana, la retta della traiettoria potrebbe essere scritta come \(x=R\). Sappiamo che nell’auto, a causa della rotazione, la traiettoria non può essere una linea retta. Allora, la domanda è questa: invece di risolvere l’equazione del moto nel sistema in rotazione, perché non effettuare una trasformazione geometrica e descrivere la retta del sistema inerziale trasformata nel passaggio al sistema rotante?
Cloe apre un occhio: "Rrrrr, facendo così terresti conto sia della forza centrifuga che di quella di Coriolis?"
Secondo me sì, dico io, perché le forze fittizie sono introdotte proprio per giustificare quello che alla fine è solo un problema di osservatori diversi.
"Vediamo: - fa Cloe - prova a fare la trasformazione e quando hai i risultati, mi svegli e ne discutiamo"
Lo sviluppo
Ok, procediamo; i sistemi li ho già piazzati, quindi si tratta di scrivere la retta precedente vedendola da un sistema rotante; questo sistema ruota con velocità angolare ω diretta lungo l'asse z, cioè le componenti della velocità angolare sono \[ \vec{\omega} = (0,0,\omega) \] Il vettore posizione nel sistema rotante è dato dall'applicazione della matrice di rotazione per un angolo \(\vartheta = \omega t\) al vettore iniziale: \[ \vec{r}'(t) = R(\omega t) \vec{r}(t) \] Usando l’espressione per una rotazione attorno all’asse \(z\) con velocità angolare ω, l’espressione diventa \[ \vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} \cos(\omega t) & \sin(\omega t) & 0 \\ -\sin(\omega t) & \cos(\omega t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ vt \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R \cos(\omega t) + vt\sin(\omega t) \\ -R\sin(\omega t) + vt\cos(\omega t) \\ 0 \end{pmatrix} \] Questa è proprio la spirale di Archimede, che aumenta il raggio man mano che gira: Cloe, vieni a vedere!
Cloe riemerge dalla poltrona e commenta: "Sì, però c’è qualcosa che non mi torna: \(v\) è la velocità iniziale della pallina nel sistema inerziale, ma sarà funzione della velocità dell’auto, grazie alla composizione delle velocità: dentro \(v\) c’è una dipendenza da ω"
Hai ragione, poniamo che \(v_0\) sia la velocità di lancio rispetto alla macchina e \(v_c\) la velocità dell’auto: \[ v = v_c + v_0 = \omega R + v_0 \]
"Inoltre... - dice pensierosa Cloe - preferirei che comparisse la velocità dell'auto, più comprensibile rispetto a quella angolare..."
Va bene, eseguo! \[ \vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} R \cos(\frac{v_c}{R} t) + (v_c + v_0)t\sin(\frac{v_c}{R} t) \\ -R\sin(\frac{v_c}{R} t) + (v_c + v_0)t\cos(\frac{v_c}{R} t) \\ 0 \end{pmatrix} \]
"Bene! Mi piace! Ora prova a fare un grafico \(xy\) in funzione del tempo, ponendo la velocità dell'auto a 50 km/h, il raggio della curva a 40 m e la velocità iniziale della pallina di 5 m/s"
Implementare la cosa su Geogebra è semplice, basta usare la funzione Curve (nome azzeccato, direi) e trasformare i km/h in m/s:
"Bene, mi torna. E guardando tutta la curva?"
Tutta mette male, visto che continua ad ingrandirsi... comunque ecco uno zoom rimpicciolito:
"Eccola, come si vede bene!". Quindi avevo ragione, il trasformare geometricamente fa ottenere lo stesso risultato dell'equazione del moto.
"Direi di sì - ammette Cloe, facendo le fusa - e devo dire che è meglio vederla in questo modo invece che risolvere \(\vec{F} = m\vec{a}\) in un sistema rotante". Resta un attimo a pensare, poi:
"In questo modo è facile anche cambiare le condizioni del problema: per esempio, se il micio in auto tirasse la pallina verso il guidatore (che poi è quello che interessa), cosa cambia?"
Beh, la velocità della pallina è sempre la somma delle velocità dell'auto rispetto al marciapiede e della pallina nel sistema rotante, solo che devo sommarli come vettori: \[ \vec{v} = \vec{v}_c + \vec{v}_0 = (0, v_c, 0) + (-v_0, 0, 0) = (-v_0,v_c,0) \] e quindi la posizione diventa \[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + (-v_0,v_c,0)t = (R - v_0t, v_c t, 0) \] quindi c'è il tempo anche nella direzione \(x\), ma resta sempre una spirale. Naturalmente, nel sistema inerziale del marciapiede resta sempre una retta, ma inclinata; dato che la velocità in quel sistema è \( (-v_0, v_c, 0) \), l'angolo che forma con l'asse \(x\) è \[ \tan \alpha = -\frac{v_c}{v_0} \]
"Miaooouu! - uno sbadiglio, mentre si stira - Interessante questa cosa: come un modello geometrico possa evitare di risolvere un’equazione vettoriale e anche che lo possa usare per situazioni iniziali differenti. Bisogna che mi ricordi di dirlo agli altri"
Dirlo a chi?
"Niente, è un modo di dire… e ora è meglio che vada a sdraiarmi sul divano nella stanza a fianco, oggi ho dormito poco e non vorrei ti venisse in mente altro".