Pioggia, grandine e velocità

Questa volta la riunione di Cloe è stata convocata sotto un balcone, al riparo dalla pioggia (per chi non lo sapesse, Cloe è la gattina che permette a me e S. di condividere i suoi spazi e la passione per la Fisica).
Non ho avuto indicazioni di argomenti specifici in ballo; solamente, un paio di giorni fa, l’ho vista mentre dormiva su un libro di statistica e sappiamo che i gatti, quando dormono... probabilmente stanno facendo qualcosa di sconosciuto.

I partecipanti stanno arrivando con la solita noncuranza felina: ne riconosco alcuni. Nell'attesa si dedicano alle solite operazioni (leccarsi il pelo, farsi le unghie o dormire), finché un gattone grigio si stira e dice:

"Amici, visto l’inverno di quest’anno, ho chiesto a Cloe di parlarci un po’ della pioggia, che però vada oltre alle solite cose".

"Buona idea! Posso cominciare io? - fa un gattino a strisce rosse - È vero che in alta montagna la pioggia che mi colpisce fa meno male perché le nuvole sono più basse e le gocce percorrono meno spazio, quindi hanno meno velocità?"
"E chi ti ha detto una cosa del genere?" dice un esemplare tigrato, smettendo un attimo di leccarsi una zampa.
Guardo Cloe: sta rotolandosi sulla schiena e sospetto che stia ridendo...
"Potresti spiegarlo e basta, invece di prendermi in giro - dice il gattino rosso - dopo tutto quello che ci hai detto sull’energia cinetica e potenziale... Mi hanno raccontato di paesi di montagna in cui le nuvole sono certamente più basse che al mare".

Cloe si ricompone: "Non ti stavo prendendo in giro, prendevo ispirazione per rispondere". Si ferma un attimo, poi: "Vedi, hai ragione: l’altezza di una nuvola viene sempre misurata rispetto al mare. Per cui se una di loro si trova a 3000 m sul livello del mare, la stessa nuvola in un posto a 2000 m di altitudine, sarà ad un’altezza di 1000 m rispetto al terreno. Da qui il motivo di quello che ti hanno detto...".

Gattino Rosso si volta verso il Tigre, soffiando (mi pare più una pernacchia, a onor del vero).

"Però… - continua Cloe, Rosso gira la testa - chi te l’ha detto ha dimenticato che la pioggia cade attraverso l’aria e quindi subisce l’attrito viscoso. In pratica, la goccia comincia a cadere, cadendo aumenta la sua velocità, ma da questa dipende l’attrito, che aumenta a sua volta; la cosa va avanti fino a quando l'attrito non uguaglia il peso:

\[ P = F_a \] e a quel punto la goccia, non più sottoposta ad una forza netta, si muove a velocità costante!".

"E quando succede? Se ci mette tanto, allora avevo ragione. Giusto per vedere se mi conviene andare in montagna" chiede ostinato Gattino Rosso.

"Per rispondere, dobbiamo costruire un modello matematico. Cominciamo col supporre che:

• la goccia possa essere considerata quasi sferica;
• la sua velocità non sia grande.

Allora l’attrito può essere valutato dalla legge di Stokes:

\[ F_a = 6\pi \eta r v \]

dove \(\eta \simeq 1,8 \cdot 10^{-5}\, \text{Pa}\cdot \text{s}\), viscosità dell'aria, \(r\) il raggio della goccia. L’accelerazione di gravità può essere supposta costante su un dislivello di appena 3000 m, quindi anche il peso è costante e l’uguaglianza delle due forze porta a

\[ mg = 6\pi \eta r v \quad \Rightarrow \quad v = \frac{mg}{6\pi \eta r} \]

Supponendo il raggio \(r = 1 \cdot 10^{-3} \text{m}\), la sua massa si ottiene dalla densità dell'acqua \(\rho\) e dal suo volume:

\[ m = \rho V = (10^3\, \text{kg/m}^3) \cdot \frac{4}{3}\pi (10^{-3}\,\text{m})^3 \sim \frac{4}{3}\pi (10^{-6}\,\text{kg}) \]

Facendo i conti, la velocità limite è attorno ai 120 m/s... Nessuno nota niente?"
"Ovvio - fa una gattina a tre colori - hai appena supposto una velocità piccola..."
"Bravissima! - scodinzola Cloe - La velocità trovata è troppo alta, non coerente con l'approssimazione fatta!"
"Quindi - fa Grigio - come se ne esce? Usiamo la quadratica?"
"Esatto - risponde Cloe - dobbiamo supporre che l’attrito sia dato da

\[ F_a = \frac{1}{2} C_a \rho A v^2 \]

\(A = \pi r^2\) è la superficie che la goccia mostra all'aria, \(\rho = 1,2\, \text{kg/m}^3\) la densità dell'aria, \(C_a = 0,5\) per una sfera. Allora la velocità limite diventa

\[ v = \sqrt{\frac{2mg}{C_a \rho A}} \simeq 6\, \text{m/s} \]

Naturalmente il vento, le correnti d’aria, possono modificare questo valore medio".

"Ma per rispondere alla domanda, ci manca ancora qualcosa: quando viene raggiunta questa velocità?" fa notare la gattina tri-colorata.

"Hai ragione. Dobbiamo controllare se lo spazio di caduta è sufficiente, che non è una cosa semplice, perché l’accelerazione non è costante: parte da \(g\) per arrivare a zero; bisogna trovare come varia la velocità in funzione del tempo \(v(t)\); per chi vuole vedere cosa ci dice il modello matematico, possiamo applicare la \(F = ma\) al nostro caso:

\[ mg - \frac{1}{2}C_a \rho A v^2 = m \frac{dv}{dt} \] per semplificare questa equazione differenziale conviene inserire la formula della velocità limite: \[ \frac{dv}{dt} = g \left( 1 - \frac{v^2}{v_l^2} \right) \] Salto i soliti passaggi matematici e otteniamo la velocità in funzione del tempo: \[ v(t) = v_l \tanh \left( \frac{g}{v_l}t \right) = v_l \tanh \left(\frac{t}{\tau}\right) \]

La costante \(\tau = v_l / g\) indica la rapidità con cui si avvicina al limite; nel nostro caso \(\tau \sim 0,7\, s\), per cui in 2-4 secondi il limite è raggiunto. Quindi la velocità a livello terra è uguale sia al mare che in montagna!"

"Quando rivedo chi me l’ha detto, gli do’ una zampata che se lo ricorda. Mi ha fatto fare una figuraccia...” conclude Gattino Rosso.

"E invece cosa succede con la grandine? - chiede un gatto bianco con un’orecchia bassa, finora in silenzio - Quella fa male sul serio, una volta mi ha beccato mentre ero in un prato..."
"Non cambia granché: rispetto ad una goccia, il coefficiente \(C_a\) è un pochino più basso, per cui la velocità limite aumenta, ma di poco: se fai i conti, trovi circa 8 m/s; sempre a parte il vento".
"Io - dice il Rosso - ho sentito umani preoccupati per la grandine caduta su una delle loro scatole di latta che chiamano 'auto'...".

"Miaaahhoo! Ma quello è un altro discorso, non dipende dalla differenza di velocità!" miagola Cloe.
"Certo - dice Rosso - è perché la grandine pesa di più e quindi fa più danno"
"Che tonto - interviene Grigio - tutti sanno che il ghiaccio è più leggero dell’acqua"
"Allora ti tiro una pallina di ghiaccio e vediamo se ti piace" dice Rosso in un soffio
"Calma, calma - si intromette Cloe - È vero, il ghiaccio è più leggero dell’acqua, ma qui non è questione di sola massa"

"Miaoo, qdm?" dice Tricolore
"Ma se ti ha detto che non dipende dalla differenza delle velocità" dice Grigio.
"Vero! Dipende sia dalla massa che dalla velocità, cioè dalla quantità di moto, come ha detto lei!". Tricolore sbadiglia, sottolineando come fosse ovvio.
"Ricordate che un gattino che va veloce fa gli stessi danni di un gattone che va piano?"
"Fatemi prendere la rincorsa e vi aggiusto tutti, miaooo!" gorgheggia Rosso.

Cloe si sposta in una zona con della terra bagnata e comincia a disegnarci sopra: gli altri si avvicinano, come se ci fosse del cibo.

Ricordate che la legge della dinamica può essere anche scritta come

\[ F = \frac{dp}{dt} \]

cioè, la forza esterna è data dalla variazione della quantità di moto. Nel nostro caso, la forza è quella fatta dal piano orizzontale per fermare la goccia, che è la stessa forza fatta dalla goccia sul piano. Supponiamo che goccia e chicco di ghiaccio abbiamo la stessa massa, cosa abbastanza vera

Quando la goccia, posizione 1, cade sulla superficie orizzontale, di solito cambia forma, magari si divide in mille goccioline: in generale, comunque, l’acqua resta sulla superficie, posizione 2; l’urto della goccia è completamente anelastico. Se \(m\) è la massa d’acqua e \(v_g\) la sua velocità prima di arrivare a terra, la forza fatta dalla goccia sul piano è

\[ F_{\text{goccia}} = \frac{0 - m(-v_g)}{\Delta t} = \frac{mv_g}{\Delta t} \]

Ora consideriamo il chicco di grandine; la differenza sta nel fatto che il chicco è in qualche modo elastico: quando urta il piano non si rompe, ma rimbalza indietro, posizione 4

Non sappiamo la velocità del rimbalzo, sappiamo solo che c’è ed è minore della velocità di caduta, un po' di energia se ne va nell'urto, magari nel rumore che fa. Sfruttiamo la nostra esperienza: quando cade la grandine, quanto è grande il rimbalzo di un chicco?"
"Circa tre zampe" risponde Grigio.
"Per me sono almeno cinque zampe" afferma Rosso.
"Ok, traducendo, il rimbalzo potrebbe essere di circa 5 cm; allora, dalla conservazione dell’energia meccanica, trascurando l’attrito con l’aria..."
"Ma prima non l’abbiamo trascurato, tanto da ottenere la velocità limite. Possiamo considerare l'energia conservata?" interviene Tricolore.
"Non nell'urto, ma in quello che succede subito dopo, sì: qui la velocità è bassa ed il tragitto molto breve; quindi, facendo i calcoli, energia cinetica in basso ed energia potenziale in alto per \(h =\) 5 cm, la conservazione mi dice che la velocità con cui rimbalza il chicco è

\[ v_r = \sqrt{2gh} \simeq 1\, \text{m/s} \]

Per il chicco di grandine la forza esercitata è

\[ F_\text{chicco} = \frac{mv_r - m(-v_c)}{\Delta t} = \frac{m(v_r + v_c)}{\Delta t} \]

"E come facciamo a trovare \(\Delta t\) ? chiede Tricolore
"In effetti, sappiamo solo che è molto piccolo, come in tutti gli urti, ma possiamo pensare che sia lo stesso per la goccia e per il chicco. Allora facciamo il rapporto tra le due forze, che non dipende dall’intervallo di tempo in cui avviene l’urto:

\[ \frac{F_\text{chicco}}{F_\text{goccia}} = \frac{m(v_r + v_c)}{mv_g} = \frac{v_r + v_c}{v_g} \simeq 1,5 \]

Eccolo qui il motivo per cui il chicco fa più male della goccia: la forza fatta sul piano è il 50% più alta per il chicco!"

Gli uditori restano in silenzio; Cloe aggiunge:

"Da qui la sensazione di dolore quando un chicco vi colpisce. Notate anche che la massa non c’è: il rapporto dipende solo dalle velocità"
"Il rapporto. - dice Tricolore - Perché invece le forze dipendono dalla massa, eccome"
"Certo, un chicco da 10 grammi fa molto male, ma sempre il 50% in più di una goccia di 10 grammi"
"Quindi - conclude Grigio - confermiamo che è bene non andarsene in giro sotto la grandine"

"M(i)aaaaooo… vorrei sapere se è bene correre quando piove..." dice Rosso.
"Questa è una cosa divertente ma un po’ lunga, ne parliamo la prossima volta. Per oggi abbiamo discusso abbastanza. Se volete potete restare qui al riparo, ma io vado: ho sentito dal profumo che il mio umano sta preparando il pollo e se non mi faccio sentire, gli posso sottrarre un pezzo d’ala... e faccio anche un po’ di movimento, che ne sento proprio il bisogno... Miaoo"

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Altezza dalla velocità, in bici

Quale migliore occasione per ragionare di Fisica che trovarsi lungo una dolce montagna, su una bici che scivola senza pedalare lungo una discesa? A dir la verità, mi è capitato di guardare display della bici subito prima di scendere e appena arrivato in fondo, non mi aspettavo una discesa così ripida: l’idea di trasformarlo in un esperimento è venuta in seguito (mi sono fermato per segnarmi i dati sul telefono… e poi l’ho elaborati qualche mese dopo!).

La domanda pretesto è stata: “Accidenti, ma quanto era alta questa discesa?”. Gli unici dati a disposizione sono:

• la velocità \(v_1\) all'inizio della discesa
• quella finale \(v_2\) in fondo

e quello che voglio conoscere è l'altezza da cui sono sceso. Con solo questi dati mi debbo affidare a uno dei principi più importanti della Fisica: la…

Conservazione dell'energia

Il sistema composto da me e dalla bici, all’inizio ha una parte di energia dovuta al fatto che si sta muovendo (energia cinetica \(K_1\)) e una parte dovuta per il fatto che si trova lì, in alto rispetto al fondo della discesa (energia potenziale \(U_1\)). L'energia meccanica totale del sistema è

\[E = K_1 + U_1\]

Quando arriviamo in fondo alla discesa, non possiamo più scendere oltre, per cui non abbiamo più energia potenziale (\(U_2 = 0\)), ma abbiamo ancora energia cinetica \(K_2\). Se l'energia totale deve essere la stessa, posso uguagliare i valori iniziale e finale:

\[K_2 = K_1 + U_1\]

Questa ci dice che l’energia potenziale è scomparsa, trasformandosi in energia cinetica. Ricordando le formule dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale:

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 + mgh = \frac{1}{2} mv_2^2 \]

dove \(g\) è l’accelerazione di gravità, conosciuta e m la massa, quantità sconosciuta, che però compare in tutti i termini, quindi può essere semplificata (Galileo aveva ragione a dire che la massa di un corpo che cade non conta!).
Ora risolvo rispetto ad h ed ottengo:

\[ h = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} \]

Osserviamo la formula: l’altezza così ottenuta non dipende proprio dalla differenza delle velocità, ma dalla differenza dei loro quadrati: questo amplifica l’effetto! (Fare 4-2 è ben diverso da 16-4...)
Notiamo la dipendeza da \(g\) al denominatore: se fossimo sulla luna, con \(g\) minore, otterremmo un'altezza maggiore.
Bene, ora porto i dati nell'unità di misura necessaria (mantenendo le stesse cifre significative) e sostituisco nella formula:

\[ \begin{cases} v_1 = 18,2\, \text{km/h} = 5,06\, \text{m/s} \\ v_2 = 32,6\, \text{km/h} = 9,06\, \text{m/s} \end{cases} \]

ed ottengo il valore \(h = 2,88 \) m. Potrebbe sembrare poco, ma psicologicamente 3 metri in orizzontale sembrano meno di 3 metri in verticale (che poi corrisponde ad una rampa di scale...). Il problema semplice termina qui, con quello che cercavo.

E l'attrito?

In effetti ho fatto una grande semplificazione: mentre scendevo, sentivo aumentare il vento sul viso, quindi c’era attrito con l’aria. L’attrito è una forza dissipativa: una parte dell’energia totale viene trasformata in calore (non si sente perché, appena generato, viene portato via dall’aria stessa, ma il viso, la bici, ecc… si scalderebbero).
Quindi l’energia cinetica finale misurata è minore di quella che avrei avuto scendendo da quell’altezza se non ci fosse attrito. Allora la velocità senza attrito avrebbe dovuto essere più grande, di conseguenza anche l’altezza. La conclusione è che l’altezza vera è maggiore di 2,88 metri!
Ma essendo una forza che non conserva l’energia, come posso usare proprio la conservazione dell’energia?
Introducendo un termine che tiene conto dell’energia dissipata! Meglio: devo sottrarre qualcosa all’energia totale. Ma quanto?

In generale, il calcolo preciso è un po’ complesso, ma vediamo come posso ottenerne una valutazione senza perdermi nella matematica. Devo supporre che non ci fosse vento (e mi pare fosse proprio così). La velocità è abbastanza alta per creare vortici d’aria (e si sentono!), per cui devo usare la dipendenza quadratica dalla velocità: la forza d’attrito è

\[F_\text{aria} = k v^2\]

ed il coefficiente \(k\) ha una forma del tipo:

\[k = \frac{1}{2} C_a \rho A\]

dove

• \(A\) è l'area (corpo + bici) che fa resistenza all'aria;
• \(\rho\) = 1,2 kg/m³ è la densità dell'aria;
• \(C_a\) è un coefficiente aerodinamico adimensionale che dipende dal corpo

Da alcuni siti specialistici sul ciclismo, trovo che un valore tipico per una postura eretta del ciclista è attorno a 0,45-0,55 kg/m. In effetti, l’area del corpo è attorno a 0,8-1,0 m²; il coefficiente aerodinamico è 0,5 per una sfera liscia: non essendo rotondo e nemmeno liscio, posso pensare a 0,8-0,9, introducendo la struttura della bici. Se uso questi valori, ottengo 0,55 kg/m, in linea con quanto trovato in rete. Decido di usarne uno intermedio: 0,50 kg/m.

Per trovare l'energia dissipata, devo calcolare il lavoro di questa forza, che ha sempre verso opposto alla velocità, quindi lavoro negativo:

\[L_a = \vec{F} \cdot \vec{s} = - Fs = kv^2 s\]

dove s è lo spostamento durante la discesa. Però la velocità cambia al variare della posizione (è un moto accelerato!):

\[v = v(s)\]

Devo allora sommare tutti i piccoli lavori per ogni tratto di percorso in cui possa considerare costante la velocità; in pratica, sto facendo il solito discorso per l’introduzione di un integrale:

\[L = -k \int_0^D v^2(s)\; d\! s\]

dove \(d\! s\) è la lunghezza infinitesima di ogni spostamento e \(D\) è la lunghezza totale del tratto percorso. Peccato che la funzione \(v(s)\) non sia nota: è un moto accelerato con accelerazione non costante; dovremmo risolvere un'equazione differenziale nella velocità. Proviamo invece a proseguire con meno complicazioni.
Se la velocità fosse costante, potremmo portarla fuori dall’integrale, che diventerebbe semplice (avremmo la lunghezza \(D\)). Un buon valore costante è la media; però la velocità compare al quadrato, per cui inseriamo la media dei quadrati:

\[v_m^2 \sim \frac{v_1^2 + v_2^2}{2} \simeq 53,8 \; \text{m}^2 / \text{s}^2\]

Così il lavoro diventa

\[L = -k v_m^2\int_0^D \; d\! s = -k v_m^2 D\]

Però non ho misurato la lunghezza \(D\) della discesa; a occhio, ricordo che poteva essere attorno a 12-15 metri. Per controllare che sia un numero coerente, provo a calcolare l'inclinazione corrispondente:

\[ D \sin \alpha = h \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = \frac{h}{D} \simeq 0.22 \]

e la calcolatrice mi dice che siamo attorno ai 12°, che corrisponde ad una pendenza di di circa 20%. È un po' grande, ma ricordo che la disceca era ripida, anzi, è stato questo a spingermi a voler calcolare l'altezza! Quindi la supposizione è coerente: inserisco i dati e calcolo l'energia dissipata:

\[ L = - (0,50\, \text{kg/m}) (53,8\, \text{m}^2 / \text{s}^2) (15\, m) \simeq -400\, \text{J} \]

Questa è l’energia che deve essere tolta dall’energia totale; l’equazione di prima diventa (\(h'\) è la nuova altezza)

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 + mgh' + L = \frac{1}{2} mv_2^2 \]

Questa volta non posso semplificare la massa: suppongo che tra il mio peso e quello della bici elettrica, la massa sia attorno ai 100 kg; risolvendo rispetto ad \(h'\) si ha:

\[ h' = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} - \frac{L}{mg} = h + \frac{|L|}{mg} \]

Ho esplicitato che il lavoro è negativo, per mostrare che si tratta di una aggiunta; la differenza è data dal termine:

\[ \frac{|L|}{mg} \simeq 0,41\, \text{m} \]

Quindi, con l'attrito, la stima passa da 2,9 a 3,3 metri; una correzione del 14%.

Controllo

Ora si tratta di vedere se le approssimazioni fatte hanno senso. Se avessimo voluto essere più precisi, avremmo dovuto risolvere l'equazione differenziale ottenuta dalla legge fondamentale \(F = ma\):

\[ k v^2 - mg \sin\alpha = m \frac{dv}{dt} \]

che fornisce una funzione \(v(s)\) del tipo riportata in figura (ho usato i dati dell'esperimento - in orizzontale la posizione della bici lungo la discesa, in verticale la velocità).
Notiamo due cose:

• La rapidità di crescita della velocità (cioè l'accelerazione) diminuisce con l'aumento della distanza tendendo ad un valore limite, come atteso;
• per brevi tratti, in particolare entro i 15 metri iniziali, la velocità cresce in modo praticamente costante; ha quindi avuto senso considerare la media.

L'importanza dell’effetto cambia se consideriamo un range di velocità diverse, per esempio per un’auto, dove l’amplificazione dovuta al quadrato delle velocità si fa sentire. Se poi il coefficiente aerodinamico diventa grande (per un paracadutista, per esempio), la velocità limite viene raggiunta più rapidamente e le approssimazioni fatte non valgono più.

Per completare il controllo e confermare il grafico qui sopra, posso trovare la velocità limite: viene raggiunta quando la componente della forza peso lungo la discesa uguaglia la forza d'attrito:

\[ mg \sin\alpha = k v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{mg}{k}\sin\alpha} \simeq 20\, \text{m/s} \]

Nel nostro caso siamo ben distanti da questo limite e le approssimazioni fatte continuano ad avere senso.

Riassumendo

Ho prima applicato la conservazione dell’energia al compito semplice di trovare l’altezza da cui sono sceso. Poi ho provato a raffinare la misura, introducendo la resistenza dell’aria. Mancandomi dei dati, ho provato a dare una loro valutazione, facendo attenzione di ottenere dati sensati e controllando che non andassero contro le approssimazioni fatte. In questo modo, sono arrivato ad un risultato approssimato ma coerente.
I fisici sono spesso rimproverati di vivere in un mondo fatato, senza attrito; ho appena mostrato che la Fisica ha i mezzi per trattare bene l’attrito: se però lo si introduce già all’inizio:

• si rischia di perdere di vista i concetti fondamentali, senza vedere le leggi più grandi che governano la realtà;
• a parte casi particolari, in cui si cerca precisione, il trascurare l’attrito non crea grandi differenze.

Auguro a tutti delle belle passeggiate in bici: alla prima discesa, sapete cosa fare!

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Il riferimento assoluto e quelli non inerziali

Dall'ultima volta che ho discusso con Cloe (la mia gatta) sulla velocità della Terra a zonzo per lo spazio (per chi si fosse perso il resoconto, lo può trovare a questo link), avevo notato come Cloe girasse pensierosa per la casa: aveva anche aumentato il numero di cose buttate giù da tavolini, mobili e altre posizioni elevate (tutto a scopo scientifico, naturalmente).

Non sono così sicuro che quanto riporterò sia successo veramente o se me lo sia sognato. Comunque ho sentito rumori sul balcone e mi sono avvicinato... La suddetta Cloe, sopra un vaso capovolto stava parlando ad altri 4 gatti: due li conosco, abitano in appartamenti vicini. Gli altri due invece non li ho mai visti, devono essere stati invitati. Sono tutti molto seri.

"Capite? - dice - a noi sembra di stare fermi , mentre invece questo enorme sasso si sta muovendo a velocità incredibili!"

"È sempre giusto saperlo, non si sa mai - dice Gatta 3 - ma dove vuoi arrivare?"

"Il fatto è che quando ci viene voglia di fare qualche esperimento, tipo far volare un tappo dal tavolo o saltare su quel mobile in alto, dobbiamo sapere come si sta muovendo il nostro laboratorio, altrimenti si rischia che il salto non si concluda come previsto. E questo è altamente disdicevole"

"In effetti - fa Gatto 2 - se sbaglio il salto, rischio di saltare anche il pranzo, il che genera fastidi..."

"Bene, cerchiamo di studiare la situazione! Quello che non viene mai detto è che la prima e la seconda legge di Newton valgono soltanto in un sistema inerziale. Ma vi domando: esiste un sistema inerziale?"

"Se lo chiedi, vuol dire che non è detto - risponde Gatto 2 - Però basta prendere un oggetto fermo, appioppargli un sistema di riferimento e siamo a posto". Vedo la coda di Cloe agitarsi: "Ah sì? E fermo rispetto a cosa, di grazia?"

"Rispetto a me" dice Gatto 2, ma viene preso a zampate dalla vicina Gatta 3: "Pensi di essere Tolomeo al centro dell'Universo?", seguita da un'altra zampata.

"Ordine, ordine! - dice Cloe - Abbiamo visto che la Terra ruota su se stessa, quindi non è un sistema inerziale; d'altra parte, ruota anche attorno al Sole, proprio non se ne parla. Però anche il Sole gira attorno al centro della Via Lattea... quindi?"

"Quindi il sistema inerziale non esiste? - fa Gatto 1 - e tutta la Fisica non sta in piedi?"

"Sarà che il mio umano è un fisico - dice Cloe - ma ho imparato che le cose si possono anche approssimare! Altrimenti come avrebbe fatto Galileo a pensare alla prima legge, poi scritta da Newton, quando viveva in un mondo pieno di attriti?"

“Suppongo Galileo non sia il mio amico del condominio a fianco… miaooo”. Zampata di Gatta 3 a Gatto 2. 

"Quando ha visto che una palla appena scesa da uno scivolo poteva risalire lungo una salita solo fino all’altezza che aveva prima, ha pensato che se non ci fossero salite e attriti, poteva muoversi all’infinito: ma ha solo potuto pensarlo! Cioè l'ha approssimato!”.

"Ecco perché i miei esperimenti non portano a nulla - (Gatto 1) - io non ho palline, ma solo gomitoli pelosi e roba non rotonda. L'altro giorno ho trovato una penna sotto il mobile e..."

"Non perdiamo la con-cen-tra-zio-ne! - si impone Cloe - Se devo fare l'esperimento della pallina che corre in casa, la Terra mi va bene come sistema inerziale! Ma se guardassi quella pallina dalla Luna, non la vedrei andare dritta, ma seguendo una traiettoria curva. Mi sono documentata: gli umani hanno deciso che le stelle distanti (le chiamano stelle fisse) sono, appunto, talmente distanti che possono essere considerate immobili, appunto approssimando: ecco il sistema cercato! Allora tutti i sistemi che si muovono a velocità costante rispetto alle stelle fisse, possono essere definiti inerziali."

"Il solito misto di umanità, matematica e fisica" dice Gatto 4, che a quanto vedo è di poche parole.

“Ho capito - Gatta 3 - esistono infiniti sistemi inerziali. Galileo dice che non possiamo sapere se uno di questi è fermo o in moto, a meno di non affacciarsi al finestrino, perché qualunque esperimento che facciamo ci mostra lo stesso risultato. E Newton è partito da lì ed ha scritto la prima legge: se non tocco la pallina, questa o sta ferma o si muove all’infinito sempre con la stessa velocità. Poi ha fatto un po’ di prove con le forze, magari l’ha fatte il suo gatto, trovando che l’accelerazione è proporzionale alla forza che la genera".

"Secchiona!" questo è Gatto 2, che si riceve un paio di zampate da Gatta 3, che dice: "Ma allora, se sono nel trasportino in macchina con il mio umano e questo decide di frenare, non sono più in un sistema inerziale. Se frena con accelerazione a, io vengo spinta verso la porticina (che purtroppo non si apre): chi è che fa quella forza?"

"Eccola! - strilla felice Cloe - hai beccato l'esperimento giusto! Quella forza che ti spinge verso la porta del trasportino non esiste! O meglio, esiste solo per te! Per me che ti guardo dal balcone, vedo l'auto che rallenta e tu che continui ad andare avanti e per quel motivo ti schiacci contro il cancelletto!"

"Quindi, l'ultima volta che ci ho sbattuto il naso... era tutto finto?"

"Per te no, ma la forza dipende dal fatto che non sei su un sistema inerziale. È una forza fittizia, nessuno ti ha spinto veramente. Un sistema non inerziale è individuabile anche stando al suo interno proprio perché ci sono forze fittizie: i corpi si muovono senza che nessuno li tocchi!".

"Fittizia o no, quando sei nel trasportino la senti - interviene Gatto 1 - e sarà possibile calcolarla, no?"

"Sì - fa Cloe, quasi facendo le fusa - se la macchina frena con accelerazione a, la forza che senti è

\[ F_\text{fittizia} = -m a \]

Il segno 'meno' è dovuto al fatto che se la macchina frena, la forza spinge in avanti e se accelera spinge indietro, cioè la forza ha sempre il verso opposto all'accelerazione. Ma la cosa più divertente è che la massa che compare nella formula è la tua! In pratica più pesi e più la forza fittizia ti spinge.

"Un momento - dice Gatto 4 - significa che se nel traportino c'è una pallina che pesa un decimo di me, questa si muove appena, mentre io sono sbattuto sulla porticina?"

"E no! La forza sarà un decimo, ma l'accelerazione è la stessa! Vi muoverete assieme e finirete assieme contro la porta!"

"Allora - dice Gatto 2 - se so l'accelerazione con cui frena l'auto, posso anche sapere che forza devo fare io con le mie zampe per stare fermo, giusto? Basta calcolare questa forza fittizia, usando la mia massa e fare una forza uguale e contraria sul pavimento del trasportino!"

"Certo! - dice Cloe - basta però che il trasportino o sia fissato al sedile o abbia sufficiente attrito col sedile, altrimenti tu stai fermo all'interno, ma il tuo contenitore se ne va a spasso per l'auto, dall'interno non puoi fare forza sul sedile!"

"Facciamo un modello matematico: - dice la secchiona - io ho massa m (piccola, sono magra), il trasportino ha massa M e l'auto frena con decelerazione a. All'interno, la forza che sento io è quella di prima e devo fare resistenza con le unghie e sto ferma. Ma se il tutto è sul sedile, la forza che sente il trasportino è

\[ F_f = (M + m)a \]

Per fermarlo, qui non ci sono le mie unghie, quindi devo affidarmi alla forza d'attrito col sedile, che è, considerando la reazione vincolare e che il trasportino non salta in verticale:

\[ F_a = \mu (M + m)g \]

Ora, perché il trasportino non si muova, l'attrito deve essere uguale alla fittizia (la potremmo chiamare forza d'inerzia); uguagliandole, il coefficiente di attrito deve essere

\[ \mu = \frac{a}{g} \]

Ehi! Ma l'attrito necessario non dipende dalla massa! Se al mio posto ci fosse il mio umano, sarebbe la stessa cosa. Come lo spieghi?"

Cloe ci pensa un attimo, poi "Giusto! Hai ragione a chiederlo: la massa che entra nella formula dell'attrito è quella gravitazionale, usata per calcolare il peso, mentre quella che entra nella forza fittizia è massa inerziale, quella che si oppone alla variazione di velocità.

\[ \begin{cases} F_f = - (m + M) a & \quad & \text{massa inerziale} \\ F_a = \mu (m + M) g & \quad & \text{massa gravitazionale} \end{cases} \]

Il processo fisico è diverso, ma capita che i due tipi di massa siano sperimentalmente uguali, per cui uguagliando le due forze, possiamo semplificare le masse, che quindi scompaiono dalla formula! Ogni cosa nell'auto sta ferma o meno solo in dipendenza dal coefficiente di attrito, qualunque sia la sua massa".

"Bene, se io devo volare all'interno del trasportino, lo dovrà fare anche il mio umano!" - dice soddisfatto Gatto 1.

"Ma solo se il coefficiente d'attrito è lo stesso..." - ricorda Gatto 4 - Comunque questo fatto delle due masse uguali è affascinante..."

"Ti dirò di più - dice Cloe - Per lo stesso motivo, quando ti butti da una finestra (un gatto non cade mai), mentre scendi sei un sistema che ha accelerazione g verso il basso, quindi risenti di una forza fittizia mg verso l'alto (massa inerziale), che va ad eguagliare la tua forza peso mg verso il basso (massa gravitazionale). Per questo, mentre cadi, ti senti senza peso; e se buttandoti hai trascinato con te una pallina, la vedrai galleggiare al tuo fianco, perché cade con la stessa accelerazione (fino a che la resistenza dell'aria non comincia a farsi sentire per entrambi...)".

Gatta 3 aggiunge: "Mentre se ti vedo dal balcone mentre cadi, la forza è una sola, quella di gravità mg, che spiega da sola l'accelerazione con cui stai scendendo, uguale per te e per la pallina".

"Però - dice Gatto 4 - questo esempio non è tuo: ho letto che l'ha pensato un certo Einstein: ne ha fatto la base di una sua teoria e così ha imposto che i due tipi di massa debbano essere uguali. Come al solito, matematici e fisici, quando vedono una cosa importante che non possono dimostrare, la impongono come base e sono contenti".

"Beh - fa Cloe - non è proprio così, anche se... Comunque, mi pare di aver sentito dei rumori in cucina, l'ora di cena è vicina, per cui vi saluto. Vorrei ancora discutere con voi di un altro tipo di sistema non inerziale, ma ora sarebbe troppo lunga e sento un po' di fame. Per cui vi saluto, vi farò sapere quando sarà la prossima riunione".

"Ok, però dimmelo per tempo, che ho certi giri che non posso spostare..." dice il mondano Gatto 2.

Se ne vanno in un turbinio di code, Cloe mi passa vicino facendo finta di non vedermi... Mah... 

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