Il riferimento assoluto e quelli non inerziali

Dall'ultima volta che ho discusso con Cloe (la mia gatta) sulla velocità della Terra a zonzo per lo spazio (per chi si fosse perso il resoconto, lo può trovare a questo link), avevo notato come Cloe girasse pensierosa per la casa: aveva anche aumentato il numero di cose buttate giù da tavolini, mobili e altre posizioni elevate (tutto a scopo scientifico, naturalmente).

Non sono così sicuro che quanto riporterò sia successo veramente o se me lo sia sognato. Comunque ho sentito rumori sul balcone e mi sono avvicinato... La suddetta Cloe, sopra un vaso capovolto stava parlando ad altri 4 gatti: due li conosco, abitano in appartamenti vicini. Gli altri due invece non li ho mai visti, devono essere stati invitati. Sono tutti molto seri.

"Capite? - dice - a noi sembra di stare fermi , mentre invece questo enorme sasso si sta muovendo a velocità incredibili!"

"È sempre giusto saperlo, non si sa mai - dice Gatta 3 - ma dove vuoi arrivare?"

"Il fatto è che quando ci viene voglia di fare qualche esperimento, tipo far volare un tappo dal tavolo o saltare su quel mobile in alto, dobbiamo sapere come si sta muovendo il nostro laboratorio, altrimenti si rischia che il salto non si concluda come previsto. E questo è altamente disdicevole"

"In effetti - fa Gatto 2 - se sbaglio il salto, rischio di saltare anche il pranzo, il che genera fastidi..."

"Bene, cerchiamo di studiare la situazione! Quello che non viene mai detto è che la prima e la seconda legge di Newton valgono soltanto in un sistema inerziale. Ma vi domando: esiste un sistema inerziale?"

"Se lo chiedi, vuol dire che non è detto - risponde Gatto 2 - Però basta prendere un oggetto fermo, appioppargli un sistema di riferimento e siamo a posto". Vedo la coda di Cloe agitarsi: "Ah sì? E fermo rispetto a cosa, di grazia?"

"Rispetto a me" dice Gatto 2, ma viene preso a zampate dalla vicina Gatta 3: "Pensi di essere Tolomeo al centro dell'Universo?", seguita da un'altra zampata.

"Ordine, ordine! - dice Cloe - Abbiamo visto che la Terra ruota su se stessa, quindi non è un sistema inerziale; d'altra parte, ruota anche attorno al Sole, proprio non se ne parla. Però anche il Sole gira attorno al centro della Via Lattea... quindi?"

"Quindi il sistema inerziale non esiste? - fa Gatto 1 - e tutta la Fisica non sta in piedi?"

"Sarà che il mio umano è un fisico - dice Cloe - ma ho imparato che le cose si possono anche approssimare! Altrimenti come avrebbe fatto Galileo a pensare alla prima legge, poi scritta da Newton, quando viveva in un mondo pieno di attriti?"

“Suppongo Galileo non sia il mio amico del condominio a fianco… miaooo”. Zampata di Gatta 3 a Gatto 2. 

"Quando ha visto che una palla appena scesa da uno scivolo poteva risalire lungo una salita solo fino all’altezza che aveva prima, ha pensato che se non ci fossero salite e attriti, poteva muoversi all’infinito: ma ha solo potuto pensarlo! Cioè l'ha approssimato!”.

"Ecco perché i miei esperimenti non portano a nulla - (Gatto 1) - io non ho palline, ma solo gomitoli pelosi e roba non rotonda. L'altro giorno ho trovato una penna sotto il mobile e..."

"Non perdiamo la con-cen-tra-zio-ne! - si impone Cloe - Se devo fare l'esperimento della pallina che corre in casa, la Terra mi va bene come sistema inerziale! Ma se guardassi quella pallina dalla Luna, non la vedrei andare dritta, ma seguendo una traiettoria curva. Mi sono documentata: gli umani hanno deciso che le stelle distanti (le chiamano stelle fisse) sono, appunto, talmente distanti che possono essere considerate immobili, appunto approssimando: ecco il sistema cercato! Allora tutti i sistemi che si muovono a velocità costante rispetto alle stelle fisse, possono essere definiti inerziali."

"Il solito misto di umanità, matematica e fisica" dice Gatto 4, che a quanto vedo è di poche parole.

“Ho capito - Gatta 3 - esistono infiniti sistemi inerziali. Galileo dice che non possiamo sapere se uno di questi è fermo o in moto, a meno di non affacciarsi al finestrino, perché qualunque esperimento che facciamo ci mostra lo stesso risultato. E Newton è partito da lì ed ha scritto la prima legge: se non tocco la pallina, questa o sta ferma o si muove all’infinito sempre con la stessa velocità. Poi ha fatto un po’ di prove con le forze, magari l’ha fatte il suo gatto, trovando che l’accelerazione è proporzionale alla forza che la genera".

"Secchiona!" questo è Gatto 2, che si riceve un paio di zampate da Gatta 3, che dice: "Ma allora, se sono nel trasportino in macchina con il mio umano e questo decide di frenare, non sono più in un sistema inerziale. Se frena con accelerazione a, io vengo spinta verso la porticina (che purtroppo non si apre): chi è che fa quella forza?"

"Eccola! - strilla felice Cloe - hai beccato l'esperimento giusto! Quella forza che ti spinge verso la porta del trasportino non esiste! O meglio, esiste solo per te! Per me che ti guardo dal balcone, vedo l'auto che rallenta e tu che continui ad andare avanti e per quel motivo ti schiacci contro il cancelletto!"

"Quindi, l'ultima volta che ci ho sbattuto il naso... era tutto finto?"

"Per te no, ma la forza dipende dal fatto che non sei su un sistema inerziale. È una forza fittizia, nessuno ti ha spinto veramente. Un sistema non inerziale è individuabile anche stando al suo interno proprio perché ci sono forze fittizie: i corpi si muovono senza che nessuno li tocchi!".

"Fittizia o no, quando sei nel trasportino la senti - interviene Gatto 1 - e sarà possibile calcolarla, no?"

"Sì - fa Cloe, quasi facendo le fusa - se la macchina frena con accelerazione a, la forza che senti è

\[ F_\text{fittizia} = -m a \]

Il segno 'meno' è dovuto al fatto che se la macchina frena, la forza spinge in avanti e se accelera spinge indietro, cioè la forza ha sempre il verso opposto all'accelerazione. Ma la cosa più divertente è che la massa che compare nella formula è la tua! In pratica più pesi e più la forza fittizia ti spinge.

"Un momento - dice Gatto 4 - significa che se nel traportino c'è una pallina che pesa un decimo di me, questa si muove appena, mentre io sono sbattuto sulla porticina?"

"E no! La forza sarà un decimo, ma l'accelerazione è la stessa! Vi muoverete assieme e finirete assieme contro la porta!"

"Allora - dice Gatto 2 - se so l'accelerazione con cui frena l'auto, posso anche sapere che forza devo fare io con le mie zampe per stare fermo, giusto? Basta calcolare questa forza fittizia, usando la mia massa e fare una forza uguale e contraria sul pavimento del trasportino!"

"Certo! - dice Cloe - basta però che il trasportino o sia fissato al sedile o abbia sufficiente attrito col sedile, altrimenti tu stai fermo all'interno, ma il tuo contenitore se ne va a spasso per l'auto, dall'interno non puoi fare forza sul sedile!"

"Facciamo un modello matematico: - dice la secchiona - io ho massa m (piccola, sono magra), il trasportino ha massa M e l'auto frena con decelerazione a. All'interno, la forza che sento io è quella di prima e devo fare resistenza con le unghie e sto ferma. Ma se il tutto è sul sedile, la forza che sente il trasportino è

\[ F_f = (M + m)a \]

Per fermarlo, qui non ci sono le mie unghie, quindi devo affidarmi alla forza d'attrito col sedile, che è, considerando la reazione vincolare e che il trasportino non salta in verticale:

\[ F_a = \mu (M + m)g \]

Ora, perché il trasportino non si muova, l'attrito deve essere uguale alla fittizia (la potremmo chiamare forza d'inerzia); uguagliandole, il coefficiente di attrito deve essere

\[ \mu = \frac{a}{g} \]

Ehi! Ma l'attrito necessario non dipende dalla massa! Se al mio posto ci fosse il mio umano, sarebbe la stessa cosa. Come lo spieghi?"

Cloe ci pensa un attimo, poi "Giusto! Hai ragione a chiederlo: la massa che entra nella formula dell'attrito è quella gravitazionale, usata per calcolare il peso, mentre quella che entra nella forza fittizia è massa inerziale, quella che si oppone alla variazione di velocità.

\[ \begin{cases} F_f = - (m + M) a & \quad & \text{massa inerziale} \\ F_a = \mu (m + M) g & \quad & \text{massa gravitazionale} \end{cases} \]

Il processo fisico è diverso, ma capita che i due tipi di massa siano sperimentalmente uguali, per cui uguagliando le due forze, possiamo semplificare le masse, che quindi scompaiono dalla formula! Ogni cosa nell'auto sta ferma o meno solo in dipendenza dal coefficiente di attrito, qualunque sia la sua massa".

"Bene, se io devo volare all'interno del trasportino, lo dovrà fare anche il mio umano!" - dice soddisfatto Gatto 1.

"Ma solo se il coefficiente d'attrito è lo stesso..." - ricorda Gatto 4 - Comunque questo fatto delle due masse uguali è affascinante..."

"Ti dirò di più - dice Cloe - Per lo stesso motivo, quando ti butti da una finestra (un gatto non cade mai), mentre scendi sei un sistema che ha accelerazione g verso il basso, quindi risenti di una forza fittizia mg verso l'alto (massa inerziale), che va ad eguagliare la tua forza peso mg verso il basso (massa gravitazionale). Per questo, mentre cadi, ti senti senza peso; e se buttandoti hai trascinato con te una pallina, la vedrai galleggiare al tuo fianco, perché cade con la stessa accelerazione (fino a che la resistenza dell'aria non comincia a farsi sentire per entrambi...)".

Gatta 3 aggiunge: "Mentre se ti vedo dal balcone mentre cadi, la forza è una sola, quella di gravità mg, che spiega da sola l'accelerazione con cui stai scendendo, uguale per te e per la pallina".

"Però - dice Gatto 4 - questo esempio non è tuo: ho letto che l'ha pensato un certo Einstein: ne ha fatto la base di una sua teoria e così ha imposto che i due tipi di massa debbano essere uguali. Come al solito, matematici e fisici, quando vedono una cosa importante che non possono dimostrare, la impongono come base e sono contenti".

"Beh - fa Cloe - non è proprio così, anche se... Comunque, mi pare di aver sentito dei rumori in cucina, l'ora di cena è vicina, per cui vi saluto. Vorrei ancora discutere con voi di un altro tipo di sistema non inerziale, ma ora sarebbe troppo lunga e sento un po' di fame. Per cui vi saluto, vi farò sapere quando sarà la prossima riunione".

"Ok, però dimmelo per tempo, che ho certi giri che non posso spostare..." dice il mondano Gatto 2.

Se ne vanno in un turbinio di code, Cloe mi passa vicino facendo finta di non vedermi... Mah... 

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