I sistemi che ruotano

Era ormai qualche giorno che notavo che Cloe si strofinava in certi punti del balcone e del giardino (per chi non lo sapesse, Cloe è la gatta che permette a me e mia moglie di vivere sotto il suo tetto - inoltre ha la passione per la Fisica), qualche unghiata in giro, con la scusa di stirarsi. In seguito, altri gatti passavano annusando; i segnali c’erano tutti: Cloe stava organizzando una riunione.

Infatti, ora eccoli tutti lì, dietro un cespuglio: Cloe su una pietra e altri quattro gatti attorno, attenti a quello che sta per succedere (attenti come sanno esserlo i gatti: due si stanno leccando il pelo, uno guarda il vuoto e l’altro fa finta di dormire).

"Bene - fa Cloe - forse ci raggiungerà ancora qualcuno, ma è meglio partire. Vorrei discutere di cosa succede quando siamo in un sistema girevole"

"Effetti pratici?" chiede Gatto 1.

Cloe lo guarda con aria decisa: "Prima di tutto, sapere le cose ci permette di muoverci meglio; secondo, se vuoi l’esempio, pensa di nuovo al trasportino dentro un’auto che sta svoltando".

"Nessuno ti obbliga, puoi sempre andare a caccia di lucertole" questa è Gatta 3. Gatto 1 risponde soffiando.

"Quindi - fa Cloe - il nostro amico dentro l'auto, non essendo soggetto a forze non equilibrate, si dovrebbe muovere sempre in linea retta, senza cambi di velocità; abbiamo visto cosa succede quando l’auto frena o accelera, ma quando l’auto svolta?"

"La so!" - si risveglia Gatto 4 - "Quando un oggetto segue una linea curva, ci deve essere una forza centripeta che lo tira verso l’interno. Come la forza d’attrito fra gatto e sedile!

"Lo sapevo anch’io - dice Gatto 2 - e so anche che potrei calcolare la forza d’attrito minima necessaria, basta conoscere la velocità dell'auto, la massa del gatto e il raggio della curva"

"La massa non ti serve - interviene Gatto 1 - la forza centripeta necessaria deve essere fornita dall'attrito, per cui basta uguagliare le due forze e risolvere l'equazione:

\[ \mu N = \mu mg = m\frac{v^2}{r} \] da cui il coefficiente di attrito è \[ \mu = \frac{v^2}{rg} \]

Più vai veloce e più è stretta la curva, maggiore deve essere l’attrito. Vi sarà capitato di voler fare una curva a 90°: in casa l’attrito statico e quello dinamico sono molto bassi, specie tra unghie e pavimento: i miei umani continuano a lucidarlo..."

"Io lo faccio solo in giardino - dice Gatto 2 - In casa è bene muoversi a bassa velocità"

"Vedo che siete preparati - interviene Cloe - ma qualcuno mi sa spiegare perché il nostro amico nel trasportino si sente spingere verso l’esterno della curva? La forza d’attrito è centripeta, cioè verso l’interno! Chi ha idea del perché?"

I quattro si guardano, ma nessuno risponde. Riprende Cloe:"È di nuovo questione di riferimento! Il trasportino fa parte di un riferimento che ruota, quindi non inerziale! Vi ricordate cosa abbiamo dovuto fare l’altra volta con il riferimento in frenata?

"Abbiamo aggiunto una forza fittizia in direzione opposta all’accelerazione!" risponde Gatta 3.

"Esatto! Qui facciamo la stessa cosa! Il nostro amico in auto è costretto a introdurre una forza fittizia verso l’esterno (centrifuga), data dalla sua massa per l’accelerazione."

"Ho capito - interviene Gatto 1 - Visto che il trasportino in questo riferimento rotante non si muove, l’uguaglianza è tra forza centrifuga verso l’esterno e attrito verso l’interno. E dato che l’accelerazione del sistema è \( v^2/r \), l’equazione che si ottiene è la stessa ottenuta prima"

"Ottimo! - miagola Cloe - Riassumendo: da fuori, sistema inerziale, il trasportino segue una curva, quindi forza centripeta. Da dentro, siamo fermi nel sistema non inerziale, introduciamo la forza fittizia ed il problema è una questione di statica, dato che lì non si muove nulla. Spesso si parla di forza centrifuga, ma pochi sanno che così facendo si sta considerando il sistema non inerziale"

"Ok - dice Gatto 4 - ma il problema delle cause? Se guardo dal marciapiede, la causa del moto circolare è l’auto che svolta. Ma se mi trovo nell'auto, il dover aggiungere questa forza mi autorizza a dire che sono su un riferimento rotante?"

"Questa è un’osservazione acuta! - miagola nuovamente Cloe - Dall’auto, potresti arrivare a due conclusioni diverse, che valevano anche l’altra volta per la frenata - comincia a disegnare con la zampa sul terreno:

• Primo: non ci sono motivi visibili che spieghino la forza che spinge verso la portiera dell’auto; per cui deve essere una forza fittizia, quindi sono in un sistema non inerziale. Poi, se sono spinta verso la porta, capisco che questa forza è perpendicolare alla velocità, per cui sto percorrendo una curva
• Secondo: qualcosa mi attrae verso la porta e dipende dalla mia massa, quindi sono entrato in un campo gravitazionale rivolto verso la porta, che si aggiunge al solito peso verso il basso

"È la solita uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale - dice Gatta 3 - proprio come il caso del gatto che cade dell’altra volta"

"...e comunque pensate un attimo: se siamo su una curva, per fare esperimenti dobbiamo aggiungere la forza centrifuga, ma anche trovare quale sia una forza (reale, questa) che ci permette di stare sulla traiettoria! Se infatti non avessimo, per esempio, l’attrito, non potremmo continuare a curvare!"

"A chi lo dici..." - interloquisce Gatto 1

"Inoltre - continua Cloe - in un sistema che ruota succedono cose divertenti, di cui dobbiamo tenere conto! Supponete di avere sul sedile una pallina e che vogliate tirarla con una zampata verso il vostro umano, che vi sta portando dal veterinario: prendete la mira... zap! Ma l’auto è in curva e la pallina finisce sul vetro, invece che in testa all’umano! Cosa è successo? La pallina è truccata?". (noto che a nessuno viene in mente che potrebbe essere solo una mira errata...)

"È vero! - salta su Gatto 2 - Appena lanciata, la pallina prosegue in linea retta, ma l’auto segue una traiettoria curva!"

"E quindi - si inserisce Gatta 3 - noi dall’auto vediamo la pallina curvare dall’altra parte! Quindi dobbiamo tenerne conto: di quanto devo spostare la mira? La cosa mi diverte!"

"Eh… - risponde Cloe - trattandosi di un moto rotatorio, di lineare non c'è niente, l’ampiezza dello spostamento dipende da un mucchio di cose: ho fatto un calcolo sommario e per una velocità dell’auto di 50 km/h, una curva di raggio 20 m, velocità della pallina di 1 m/s rispetto all’auto ed il tuo bersaglio è a 1 metro, lo spostamento è attorno ai 5 cm in verso opposto alla curva. Infatti il grafico che viene fuori con questi dati è:"

"dove il punto 0 è il punto di lancio, nella direzione x’ (in avanti) e l’auto sta girando verso destra. L’asse x’ indica la distanza del bersaglio e y’ indica di quanto spostare la mira. La curva viene chiamata Spirale di Archimede; il risultato per distanze maggiori può essere diverso, ma a noi interessa meno..."

"Uhm… - fa Gatto 1 - dovrò fare qualche prova... non è proprio intuitiva"

"Eh, infatti - dice pensosa Gatta 3 - quando c’è qualcosa che gira, l’intuito non serve più a niente"

"Vi dirò: - dice Cloe - continuo a stupirmi che gli umani, anche se non tutti, comprendano queste cose... - resta un attimo a pensare, poi riprende - Comunque, riassumendo vi do i risultati finali: se siete su un sistema che sta ruotando, dovete aggiungere due forze fittizie: quella centrifuga:

\[ F_\text{centr} = -m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r} ) \quad \text{che alla fine significa } -m \omega^2 r \quad\text{in direzione radiale} \] e quella di Coriolis: \[ F_\text{Coriolis} = -2m \vec{\omega} \times \vec{v}_r \quad\text{che diventa } -2m\omega v_r \] dove \( \vec{v}_r \) è la velocità della pallina nel sistema rotante. Questa forza si applica infatti solo ai corpi in moto nel sistema non inerziale; se sono tutti fermi, c'è solo la centrifuga. In caso contrario, la forza sui corpi in moto è perpendicolare sia a \(\omega\) sia a questa velocità. Nel caso dell’auto, dove \( v_r \) è diretta in avanti e \( \omega \) è verso l’alto, la forza è verso l’esterno della curva (occhio al ‘meno’ nella formula!). Poi ci sarebbe anche la forza di Eulero, se l’auto cambia velocità con accelerazione angolare \( \alpha \) mentre sta curvando: \[ F_E = -m\vec{\alpha} \times \vec{r} \] ma se l’accelerazione tangenziale è nulla, questa scompare".

Gatto 4 interviene: "Ma noi siamo sulla Terra, che è una palla in rotazione costante: sentiamo queste forze, a parte quella di Eulero?"

"Certo che le sentiamo - risponde Cloe - ma a noi interessa poco: se lanciassimo una pallina a chilometri di distanza dovremmo tenerne conto, ma non abbiamo quella necessità. Invece la forza di Coriolis è importante sui venti; infatti l’atmosfera non è legata alla Terra: è come se fossero milioni di palline che dal loro punto di vista stanno andando diritte, ma la rotazione terrestre fa apparire il moto curvo, come la pallina sulla macchina."

"E la forza centrifuga? - chiede Gatta 3 - la Terra è una sfera che ruota su un suo asse, quindi in ogni punto la centrifuga ha una direzione diversa rispetto alla superficie"

"Quella agisce sul nostro peso apparente: infatti ai poli, dove non si sente la forza centrifuga, siamo più pesanti e all’Equatore più leggeri, dove la centrifuga è massima. Magari ne parleremo meglio in un'altra occasione"

Cloe si guarda attorno e, vedendo che non ci sono più domande, decide che la riunione è terminata:
"Allora, abbiamo discusso un po’ ed esaminato quante cose divertenti possono venire fuori giocando con i sistemi non inerziali. Ora direi che è tempo che ciascuno elabori per conto proprio: abbiamo faticato abbastanza, un sonnellino ci vuole proprio. Alla prossima volta!"

Ciascuno se ne va per conto suo, come se si fossero trovati lì per caso. Io ho qualche proposito sulla spirale di Archimede, ma prima devo verificare un po’ di cose...

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Il riferimento assoluto e quelli non inerziali

Dall'ultima volta che ho discusso con Cloe (la mia gatta) sulla velocità della Terra a zonzo per lo spazio (per chi si fosse perso il resoconto, lo può trovare a questo link), avevo notato come Cloe girasse pensierosa per la casa: aveva anche aumentato il numero di cose buttate giù da tavolini, mobili e altre posizioni elevate (tutto a scopo scientifico, naturalmente).

Non sono così sicuro che quanto riporterò sia successo veramente o se me lo sia sognato. Comunque ho sentito rumori sul balcone e mi sono avvicinato... La suddetta Cloe, sopra un vaso capovolto stava parlando ad altri 4 gatti: due li conosco, abitano in appartamenti vicini. Gli altri due invece non li ho mai visti, devono essere stati invitati. Sono tutti molto seri.

"Capite? - dice - a noi sembra di stare fermi , mentre invece questo enorme sasso si sta muovendo a velocità incredibili!"

"È sempre giusto saperlo, non si sa mai - dice Gatta 3 - ma dove vuoi arrivare?"

"Il fatto è che quando ci viene voglia di fare qualche esperimento, tipo far volare un tappo dal tavolo o saltare su quel mobile in alto, dobbiamo sapere come si sta muovendo il nostro laboratorio, altrimenti si rischia che il salto non si concluda come previsto. E questo è altamente disdicevole"

"In effetti - fa Gatto 2 - se sbaglio il salto, rischio di saltare anche il pranzo, il che genera fastidi..."

"Bene, cerchiamo di studiare la situazione! Quello che non viene mai detto è che la prima e la seconda legge di Newton valgono soltanto in un sistema inerziale. Ma vi domando: esiste un sistema inerziale?"

"Se lo chiedi, vuol dire che non è detto - risponde Gatto 2 - Però basta prendere un oggetto fermo, appioppargli un sistema di riferimento e siamo a posto". Vedo la coda di Cloe agitarsi: "Ah sì? E fermo rispetto a cosa, di grazia?"

"Rispetto a me" dice Gatto 2, ma viene preso a zampate dalla vicina Gatta 3: "Pensi di essere Tolomeo al centro dell'Universo?", seguita da un'altra zampata.

"Ordine, ordine! - dice Cloe - Abbiamo visto che la Terra ruota su se stessa, quindi non è un sistema inerziale; d'altra parte, ruota anche attorno al Sole, proprio non se ne parla. Però anche il Sole gira attorno al centro della Via Lattea... quindi?"

"Quindi il sistema inerziale non esiste? - fa Gatto 1 - e tutta la Fisica non sta in piedi?"

"Sarà che il mio umano è un fisico - dice Cloe - ma ho imparato che le cose si possono anche approssimare! Altrimenti come avrebbe fatto Galileo a pensare alla prima legge, poi scritta da Newton, quando viveva in un mondo pieno di attriti?"

“Suppongo Galileo non sia il mio amico del condominio a fianco… miaooo”. Zampata di Gatta 3 a Gatto 2. 

"Quando ha visto che una palla appena scesa da uno scivolo poteva risalire lungo una salita solo fino all’altezza che aveva prima, ha pensato che se non ci fossero salite e attriti, poteva muoversi all’infinito: ma ha solo potuto pensarlo! Cioè l'ha approssimato!”.

"Ecco perché i miei esperimenti non portano a nulla - (Gatto 1) - io non ho palline, ma solo gomitoli pelosi e roba non rotonda. L'altro giorno ho trovato una penna sotto il mobile e..."

"Non perdiamo la con-cen-tra-zio-ne! - si impone Cloe - Se devo fare l'esperimento della pallina che corre in casa, la Terra mi va bene come sistema inerziale! Ma se guardassi quella pallina dalla Luna, non la vedrei andare dritta, ma seguendo una traiettoria curva. Mi sono documentata: gli umani hanno deciso che le stelle distanti (le chiamano stelle fisse) sono, appunto, talmente distanti che possono essere considerate immobili, appunto approssimando: ecco il sistema cercato! Allora tutti i sistemi che si muovono a velocità costante rispetto alle stelle fisse, possono essere definiti inerziali."

"Il solito misto di umanità, matematica e fisica" dice Gatto 4, che a quanto vedo è di poche parole.

“Ho capito - Gatta 3 - esistono infiniti sistemi inerziali. Galileo dice che non possiamo sapere se uno di questi è fermo o in moto, a meno di non affacciarsi al finestrino, perché qualunque esperimento che facciamo ci mostra lo stesso risultato. E Newton è partito da lì ed ha scritto la prima legge: se non tocco la pallina, questa o sta ferma o si muove all’infinito sempre con la stessa velocità. Poi ha fatto un po’ di prove con le forze, magari l’ha fatte il suo gatto, trovando che l’accelerazione è proporzionale alla forza che la genera".

"Secchiona!" questo è Gatto 2, che si riceve un paio di zampate da Gatta 3, che dice: "Ma allora, se sono nel trasportino in macchina con il mio umano e questo decide di frenare, non sono più in un sistema inerziale. Se frena con accelerazione a, io vengo spinta verso la porticina (che purtroppo non si apre): chi è che fa quella forza?"

"Eccola! - strilla felice Cloe - hai beccato l'esperimento giusto! Quella forza che ti spinge verso la porta del trasportino non esiste! O meglio, esiste solo per te! Per me che ti guardo dal balcone, vedo l'auto che rallenta e tu che continui ad andare avanti e per quel motivo ti schiacci contro il cancelletto!"

"Quindi, l'ultima volta che ci ho sbattuto il naso... era tutto finto?"

"Per te no, ma la forza dipende dal fatto che non sei su un sistema inerziale. È una forza fittizia, nessuno ti ha spinto veramente. Un sistema non inerziale è individuabile anche stando al suo interno proprio perché ci sono forze fittizie: i corpi si muovono senza che nessuno li tocchi!".

"Fittizia o no, quando sei nel trasportino la senti - interviene Gatto 1 - e sarà possibile calcolarla, no?"

"Sì - fa Cloe, quasi facendo le fusa - se la macchina frena con accelerazione a, la forza che senti è

\[ F_\text{fittizia} = -m a \]

Il segno 'meno' è dovuto al fatto che se la macchina frena, la forza spinge in avanti e se accelera spinge indietro, cioè la forza ha sempre il verso opposto all'accelerazione. Ma la cosa più divertente è che la massa che compare nella formula è la tua! In pratica più pesi e più la forza fittizia ti spinge.

"Un momento - dice Gatto 4 - significa che se nel traportino c'è una pallina che pesa un decimo di me, questa si muove appena, mentre io sono sbattuto sulla porticina?"

"E no! La forza sarà un decimo, ma l'accelerazione è la stessa! Vi muoverete assieme e finirete assieme contro la porta!"

"Allora - dice Gatto 2 - se so l'accelerazione con cui frena l'auto, posso anche sapere che forza devo fare io con le mie zampe per stare fermo, giusto? Basta calcolare questa forza fittizia, usando la mia massa e fare una forza uguale e contraria sul pavimento del trasportino!"

"Certo! - dice Cloe - basta però che il trasportino o sia fissato al sedile o abbia sufficiente attrito col sedile, altrimenti tu stai fermo all'interno, ma il tuo contenitore se ne va a spasso per l'auto, dall'interno non puoi fare forza sul sedile!"

"Facciamo un modello matematico: - dice la secchiona - io ho massa m (piccola, sono magra), il trasportino ha massa M e l'auto frena con decelerazione a. All'interno, la forza che sento io è quella di prima e devo fare resistenza con le unghie e sto ferma. Ma se il tutto è sul sedile, la forza che sente il trasportino è

\[ F_f = (M + m)a \]

Per fermarlo, qui non ci sono le mie unghie, quindi devo affidarmi alla forza d'attrito col sedile, che è, considerando la reazione vincolare e che il trasportino non salta in verticale:

\[ F_a = \mu (M + m)g \]

Ora, perché il trasportino non si muova, l'attrito deve essere uguale alla fittizia (la potremmo chiamare forza d'inerzia); uguagliandole, il coefficiente di attrito deve essere

\[ \mu = \frac{a}{g} \]

Ehi! Ma l'attrito necessario non dipende dalla massa! Se al mio posto ci fosse il mio umano, sarebbe la stessa cosa. Come lo spieghi?"

Cloe ci pensa un attimo, poi "Giusto! Hai ragione a chiederlo: la massa che entra nella formula dell'attrito è quella gravitazionale, usata per calcolare il peso, mentre quella che entra nella forza fittizia è massa inerziale, quella che si oppone alla variazione di velocità.

\[ \begin{cases} F_f = - (m + M) a & \quad & \text{massa inerziale} \\ F_a = \mu (m + M) g & \quad & \text{massa gravitazionale} \end{cases} \]

Il processo fisico è diverso, ma capita che i due tipi di massa siano sperimentalmente uguali, per cui uguagliando le due forze, possiamo semplificare le masse, che quindi scompaiono dalla formula! Ogni cosa nell'auto sta ferma o meno solo in dipendenza dal coefficiente di attrito, qualunque sia la sua massa".

"Bene, se io devo volare all'interno del trasportino, lo dovrà fare anche il mio umano!" - dice soddisfatto Gatto 1.

"Ma solo se il coefficiente d'attrito è lo stesso..." - ricorda Gatto 4 - Comunque questo fatto delle due masse uguali è affascinante..."

"Ti dirò di più - dice Cloe - Per lo stesso motivo, quando ti butti da una finestra (un gatto non cade mai), mentre scendi sei un sistema che ha accelerazione g verso il basso, quindi risenti di una forza fittizia mg verso l'alto (massa inerziale), che va ad eguagliare la tua forza peso mg verso il basso (massa gravitazionale). Per questo, mentre cadi, ti senti senza peso; e se buttandoti hai trascinato con te una pallina, la vedrai galleggiare al tuo fianco, perché cade con la stessa accelerazione (fino a che la resistenza dell'aria non comincia a farsi sentire per entrambi...)".

Gatta 3 aggiunge: "Mentre se ti vedo dal balcone mentre cadi, la forza è una sola, quella di gravità mg, che spiega da sola l'accelerazione con cui stai scendendo, uguale per te e per la pallina".

"Però - dice Gatto 4 - questo esempio non è tuo: ho letto che l'ha pensato un certo Einstein: ne ha fatto la base di una sua teoria e così ha imposto che i due tipi di massa debbano essere uguali. Come al solito, matematici e fisici, quando vedono una cosa importante che non possono dimostrare, la impongono come base e sono contenti".

"Beh - fa Cloe - non è proprio così, anche se... Comunque, mi pare di aver sentito dei rumori in cucina, l'ora di cena è vicina, per cui vi saluto. Vorrei ancora discutere con voi di un altro tipo di sistema non inerziale, ma ora sarebbe troppo lunga e sento un po' di fame. Per cui vi saluto, vi farò sapere quando sarà la prossima riunione".

"Ok, però dimmelo per tempo, che ho certi giri che non posso spostare..." dice il mondano Gatto 2.

Se ne vanno in un turbinio di code, Cloe mi passa vicino facendo finta di non vedermi... Mah... 

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La velocità di quando stiamo fermi

Dato che in questo momento siamo fermi, a che velocità ci stiamo muovendo?

Ho mormorato questa domanda, ma ovviamente Cloe, la gatta che ci permette di vivere nel suo appartamento, faceva solo finta di dormire, perché apre un'occhio e...

• Cosa dici? Sono graziosamente sdraiata sulla poltrona, quindi v=0
• Capisco cosa vuoi dire... ma non è proprio così. Lo sai che la Terra ruota su se stessa come una trottola, scusa, come un gomitolo. E sai anche che noi ci stiamo sopra e quindi stiamo ruotando assieme a lei.
• Ok, ok, va bene: le solite frasi da fisico. Ma non sarà che la velocità sia piccola?
• Per questo possiamo fare due conti - dico - la velocità di rotazione della Terra è nota a tutti...
• Sei sicuro? - mi interrompe - Incontro spesso gente che non sa leggere l'ora da un orologio con le lancette
• Ti dico che questa la sanno: la Terra fa un giro su se stessa una volta al giorno, cioè un giro ogni 24 ore, che poi sono 86400 secondi (in realtà sarebbero 23 ore e 56 minuti, ma lasciamo perdere e arrotondiamo). Quindi basta ricordare il raggio della Terra... e la sua velocità tangenziale si ottiene dalla formula \[ v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi (6,4\cdot 10^6\, \text{m})}{86400\, \text{s}}\; \text{m/s} \simeq 465\, \text{m/s} \simeq 1680 \, \text{km/h} \] Sarai d'accordo con me che questa velocità non è trascurabile!
• Sai che anche se dormo, sono sempre attenta - mi guarda con aria accusatoria - il tuo calcolo riguarda la velocità all'equatore, ma noi siamo a 44 gradi Nord di latitudine, quindi la nostra distanza dall'asse di rotazione è minore, perciò velocità minore!
• Ok, volevo fare le cose semplici - mi ha preso in castagna - In effetti il raggio da considerare è \(r \cos\alpha\), con \(\alpha\) la nostra latitudine. Rifaccio subito il conto...
• Guarda che la calcolatrice sia in gradi, eh...

Modifico la formula di prima per tener conto del nuovo raggio: \[ v = \frac{2\pi r\cos\alpha}{T} = \frac{2\pi(6,4\cdot 10^6\,\text{m})\cdot \cos(44)}{86400\,\text{s}} \simeq 335\, \text{m/s} \simeq 1200\, \text{km/h} \]

Le faccio notare che, comunque, anche questa è una bella velocità: un aereo di linea è normalmente sotto i 1000 km/h.

• Ora son sicura che mi spiegherai perché non mi si arruffa il pelo quando vado sul balcone - fa lei
• Beh, mi pare ovvio: tutto si sta muovendo con noi alla stessa velocità, atmosfera compresa; andare sul balcone non è come affacciarsi dal finestrino del treno: è come passare da una vettura all'altra dello stesso treno. Inoltre, noi percepiamo un movimento quando c'è un'accelerazione, ma qui si muove tutto con regolarità
• Miaooo: traiettoria circolare! Cosa mi dici dell'accelerazione centripeta?
• Buona osservazione: proviamo a calcolarla, usando la velocità appena ottenuta: \[ a_c = \frac{v^2}{R\cos\alpha} = \frac{(335\,\text{m/s})^2}{(6,4\cdot10^6\,\text{m})\,\cos(44)} \simeq 2,4\cdot10^{-2} \, \text{m/s}^2 \]
• Sì, in effetti è piccola: è attorno alla millesima parte di quella di gravità. Però però però: se ti dico che ti stai dimenticando di qualcosa di molto più grande?
• Cosa intendi?
• La Terra gira intorno al Sole e noi con lei: prova a calcolare quella velocità lì
• Va bene, però devi farmi supporre che l'orbita sia circolare e che non ci siano anni bisestili, altrimenti devo cercare i dati
• D'accordo, tanto il fisico sei tu e decidi le tue approssimazioni. Io sono solo una gatta
• Allora: il raggio medio dell'orbita è di 150 milioni di chilometri ed il tempo impiegato per un giro (che ti ricordo, si chiama periodo) è di 365 giorni, che in secondi è \(86400\cdot 365 = 3,15\cdot 10^7 \)s. Uso la stessa formula di prima: \[ v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi (150\cdot 10^9)}{3,15\cdot 10^7} \simeq 29,9\cdot 10^3\, \text{m/s} \simeq 1,07\cdot10^5\, \text{km/h} \]
• Eccola! Abbiamo ottenuto i famosi 30 km/s, solo che scritti così fanno più impressione. Quindi, rispetto alla velocità di rotazione? Quella non diventa trascurabile?
• Certo che sì: è cento volte minore!
• Prima di concludere, fammi ancora un calcolo: l'accelerazione centripeta di questo moto di rivoluzione
• Ok, con la scusa che non puoi pigiare i tasti della calcolatrice... anche se so che se volessi, sapresti farlo benissimo...
• Gnauuu
• Qui non ci sono problemi di latitudine, supponendo la Terra un punto, per cui \[ a_C = \frac{v^2}{D} = \frac{(29,9\cdot 10^3\,\text{m/s})^2}{150\cdot 10^9\,\text{m}} \simeq 6,0\cdot 10^{-3}\, \text{m/s}^2 \]
• Vedi? Ancora più piccola dell’altra; inoltre le velocità sono talmente diverse che non ha senso considerare che per metà giornata le due velocità si sommano e per l’altra metà si sottraggono: in pratica il risultato è sempre uguale. Aspetta: visto che hai la calcolatrice in mano, con questi dati e la massa della Terra, puoi trovare la forza tra Sole e Terra, ma senza usare la formula dell’attrazione gravitazionale? Me lo chiedevo giusto qualche giorno fa
• Certo! Basta ricordare che \(F = ma\), per cui \[ F = M_T a_C = (5,97\cdot 10^{24}\, \text{kg} ) ( 6,0\cdot 10^{-3}\, \text{m/s}^2 ) \simeq 3,6\cdot 10^{22}\, \text{N} \]
• Perfetto: a me viene lo stesso valore usando invece la formula della gravitazione universale, per cui i tuoi calcoli sono giusti. Quindi confermo che posso tornare a dormire. E nemmeno le forze di Coriolis mi smuoveranno

Si appallottola per bene, muso tra le zampe, il tutto attorniato dalla coda, un po' di fusa e... dorme.

Non posso quindi ricordarle che anche il Sole si muove attorno al centro della Galassia alla velocità media di 230 km/s \(\simeq\) 830 km/h, 3 ordini di grandezza in più rispetto alla velocità di rivoluzione. Tanto mi direbbe che tutte le altre velocità sono trascurabili rispetto a questa, che è l'unica che conta. E siamo così distanti dal centro, che è come se fossimo in moto rettilineo uniforme.

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