Come bagnarsi di meno quando piove

Qualche tempo fa, ho discusso con Cloe sulla dimostrazione che serva correre quando piove (a questo link). Nonostante Cloe mi dica che tale dimostrazione sia sufficiente, a me è rimasta una domanda. Che proviene da questo ragionamento:

se vado veloce, prendo più pioggia sulla parte anteriore, ma impiego meno tempo a raggiungere il riparo; se invece vado lentamente, prendo meno pioggia davanti ma ci metto di più.

Esiste una velocità che minimizza l’acqua presa, fissata una distanza dal riparo?

Riassunto

Dalla scorsa volta, Cloe e io abbiamo trovato che la quantità d’acqua è

\[ N' = \rho D \left( \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) \]

dove \(D\) è la distanza dal riparo, \(u\) la velocità della pioggia e \(v\) la velocità a cui mi sto muovendo.

Vista così, la dipendenza è 1/\(v\), quindi più sono veloce, minore è la quantità d'acqua che mi becco. Se poi fossi velocissimo, potrei persino dire che non mi bagno proprio!

Sul tavolo a fianco del computer, Cloe apre un occhio:

"Che è quello che abbiamo detto l'altra volta"

Però non demordo: va bene, più sono veloce, meno pioggia mi prendo. Ma se invece di pioggia si trattasse di grandine? Più vado veloce e più la velocità della grandine aumenta:

\[ v_T = \sqrt{v^2 + u^2} \]

Se sono a piedi, potrei rischiare di farmi male e se sono in auto potrei danneggiare il cristallo.

"Mah, io correrei anche con la grandine - dice Cloe - e poi dovresti sapere a che velocità il cristallo si può danneggiare."

Sono d’accordo, mi mancano molti dati; però mi basterebbe per ora sapere che esiste una velocità che minimizza il rischio, tra molti urti leggeri (quando vado piano) e pochi urti importanti (quando vado veloce).

"Quindi devi costruirti un modello che approssimi il possibile danno… ne hai proprio voglia?" e accompagna questa frase con uno sbadiglio.

Il modello

Visto che la cosa mi interessa, vado avanti lo stesso, gatti o non gatti.

Le grandezze papabili sono due: quantità di moto e energia cinetica. L’impulso mi porterebbe a lavorare sulla forza scambiata con il cristallo dell’auto… Ma forse è meglio passare dall’energia (è anche comodo, non essendoci vettori ma solo moduli): in questo caso la velocità compare addirittura al quadrato! Bene, aggiudicato: il possibile danno fatto da un chicco di grandine dipende dall’espressione

\[ K = \frac{1}{2} mv_T^2 = \frac{1}{2} m \sqrt{u^2 + v^2} \]

Il danno totale dipende da quante gocce arrivano sull’auto, ma per questo abbiamo già il numero di gocce che ci prendiamo: basta moltiplicare per l’energia di una goccia e otteniamo l’energia disponibile, considerando tutte le gocce prese durante il cammino:

\[ E = \left( \rho D \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) \frac{1}{2} m v_T^2 = \frac{1}{2} \left( \rho D \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) m \left( v^2 + u^2 \right) \]

Questa è l'energia contenuta in tutte le gocce d'acqua o chicchi di grandine (hanno valori di \(\rho\), \(m\) e \(u\) diversi)

"Sì, ma questo non è proprio il danno: ogni chicco ha una certa probabilità di rompere il vetro" osserva Cloe.

Sì, ma possiamo supporre che più aumenta la velocità e più aumenta il numero di gocce, più la probabilità di rottura aumenta: noi uniamo le due cose, dicendo che se aumenta l’energia totale, allora aumenta anche la probabilità.

"Uhm, può darsi" dice Cloe, chiudendo gli occhi.

D’altra parte, guarda la dipendenza dalla nostra velocità: il numero di gocce diminuisce con la velocità, ma l’energia aumenta: c'è un \(v^2\) al numeratore. Il che torna: il chicco ci fa male soprattutto quando corriamo.

Cloe scuote un orecchio, ad indicare una cosa ovvia.

I grafici

Comunque, proviamo a fare il grafico dell'energia in funzione della velocità \(v\); raccogliendo tutto il resto all'interno di costanti, l'espressione diventa, più semplicemente:

\[ E = k \left( \frac{a}{v} + bv^2 + cv + d \right) \]

dove le costanti avranno valori che vedremo. L'importante è l'andamento generale:

Guarda: ho inserito dati fittizi per le costanti (basta che restino positive, per come sono state definite) e il grafico presenta un minimo! L'energia / danno è minima per un certo valore della velocità, proprio come mi aspettavo! Questo significa anche che il modello che ho messo su non è troppo diverso da una descrizione della realtà!

"Miaooo... E quanto vale questa velocità?"

Beh, ora dobbiamo fare i calcoli... Potremmo sostituire a a, b, c, d i valori approssimati, tracciare il grafico ed estrapolare il valore della velocità, questo possono farlo tutti...

"Io di sicuro no: le calcolatrici hanno i tasti troppo piccoli, a meno che non abbiano il riconoscimento vocale..."

Tanto i valori ci servono comunque; proviamo a calcolarli, con tutte le approssimazioni possibili. Arriveremo a qualcosa di molto approssimato, ma che ci può dare un’idea. Se ti fidi dei miei calcoli, andiamo direttamente ai numeri...

"Vai, vai..."

Risultati

Allora, supponiamo che il riparo sia a una distanza di 10 m, la massa di un chicco di grandine da 5 mm sia attorno ai 60 mg e che abbiamo circa 10 chicchi per metro cubo (per la pioggia sarebbe più alto) - stiamo facendo un bel po' di supposizioni, eh, ma ci interessa l'ordine di grandezza.

\[ k = \frac{1}{2} m \rho D \sim 3\, \text{kg/m}^2 \]

La velocità di caduta dei chicchi può essere attorno ai 10 m/s e la larghezza dell’auto su 1,5 m:

\[ a = u^3 L^2 \sim 2,3 \cdot 10^3 \, \text{m}^5 \text{s}^{-3} \]

Anche l'altezza dell'auto è attorno a 1,5 m (anche se non è tutta di cristallo, però i chicchi fanno male anche alla carrozzeria):

\[ b = Lh \sim 2.3\, \text{m}^2 \,, \quad c = uL^2 \sim 23 \, \text{m}^3 /\text{s}\,, \quad d = u^2 Lh \sim 225\, \text{m}^4 / \text{s}^2 \]

Con questi numeri, il grafico diventa:

Il valore approssimato della velocità che rende minima l’energia totale è sui 6-7 m/s, tra i 20-25 km/h.

"Miaooo, non c’è problema, ce la faccio senza nemmeno pensarci."

In effetti sui 10 metri di distanza dal riparo sei velocissima. Però i dati si riferiscono a un’auto, non sei alta e larga un metro e mezzo! Nel tuo caso direi che \(L\) e \(h\) sono attorno a 30 cm: fammi aggiornare i dati in Desmos... Mah, non sembra cambiare nulla: la velocità cercata è sempre attorno ai 6-7 m/s; ma in compenso l’energia scende moltissimo:

C’è una cosa da notare: la distanza dal riparo si trova solo nella costante \(k\) : è semplice vedere che più è grande la distanza da coprire, maggiore è il possibile danno.

"Sai che scoperta..."

Ma significa che il nostro modello non è così inventato, visto che ci dà un risultato atteso. Però (e questo è proprio interessante) essendo un fattore che moltiplica tutto, se aumentiamo la distanza da coprire, tutta la curva si dilata, ma il minimo resta nella stessa posizione! Cioè, la velocità del minimo danno è sempre la stessa! Se invece di 10 metri, dovessi percorrerne 100, aumenta la possibilità di danno, che però resta minima per la stessa velocità! Se vai più veloce o più lento, aumenti il danno!

"In effetti è vero - fa Cloe, aprendo entrambi gli occhi - anche se nel mio caso, la seconda figura, il danno cresce più lentamente se accelero rispetto a se rallentassi."

La curva dice questo, ma non mi sbilancerei: le supposizioni fatte sono tante; nel caso dell’auto la curva è quasi simmetrica rispetto al minimo. E poi ricorda che abbiamo lavorato sull’energia totale, che è una grossa approssimazione della probabilità di danno, che dovrebbe essere una distribuzione statistica: certo, se aumenta l’energia di ogni chicco, aumenterà anche tale probabilità, ma il problema diventa complesso. Sai, mi viene voglia di vedere da cosa dipende il minimo... però, anche se la derivata è semplice, poi ci troviamo un’equazione di terzo grado per trovare il punto di minimo in modo generale... non è il caso.

"Bene - fa Cloe - non avevo intenzione di starti a guardare mentre usi metodi numerici per risolverla."

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Conviene correre quando piove?

Qualche mese fa, quando la temperatura era normale e confortevole, avevo notato Cloe (la gatta che divide l'appartamento con S. e me) che, appena cominciava a piovere, scattava improvvisamente a correre all'aperto. Poi dopo un po' tornava, si riposava un poco (secondo il metro dei gatti, diciamo una mezza giornata) e ritornava sotto l'acqua, questa volta quasi passeggiando.

Cloe è molto gelosa dei suoi esperimenti, per cui non avevo indagato. Fino all'altra sera, quando le sue fusa mi hanno fatto capire che stava ragionando su qualcosa di importante.

"Insomma - dice - devo risolvere questa cosa. Me l'hanno chiesta e devo rispondere". Sempre molto responsabile sugli impegni presi. La guardo con aria interrogativa.

"Ma sì, dai: quando piove, conviene mettersi a correre oppure no? È un periodo che non piove più e ho dovuto sospendere le prove". Eccolo! Finalmente è venuto fuori il problema!

Dipende se hai l'ombrello, rispondo ridendo.

"Hai mai visto un gatto con un attrezzo così conservatore come un ombrello?"

Ok, ok. Riassumi il tuo ragionamento.

"Se cammino lentamente o sto ferma, mi prendo in testa l’acqua che cade in questo punto; ma se corro, mi prendo anche l'acqua degli altri punti e magari sul naso. O così ho visto in un filmato, ma non so se era umoristico o scientifico".

Ah, ah, ah! Era certamente umoristico!

"Allora smettila di prendermi in giro - ringhia lei - e comincia a spiegare. E non considerare il vento, che vince sempre, più forte è, peggio è".

Bene, allora supponiamo una pioggia senza vento, che quindi scende verticalmente, perpendicolare al suolo e supponiamo di essere fermi allo scoperto.

"Sì e sappiamo anche che le gocce ci arrivano a velocità costante - sta enumerando, come avesse già affrontato e superato queste cose - e supponiamo che in media siano tutte uguali, in modo da avere la stessa velocità limite".

Approssimiamo chi corre con un parallelepipedo a base quadrata di lato \(L\) e altezza \(h\) e poniamolo sotto la pioggia, fermo. Allora viene bagnato solo sulla faccia superiore.

"Fin qui ci ero arrivata anch'io: anzi, supponendo che la pioggia che cade abbia una certa densità \(\rho\), numero di gocce in un metro cubo, allora quanta acqua si becca in un tempo \(\Delta t\)?”

Seguo il suo pensiero: in un tempo \(\Delta t\) si prende tutta l’acqua che sta nel volume di base \(L^2\) e altezza \(u \Delta t\), dove \(u\) è la velocità di discesa della pioggia:

\[ N = \rho \, L^2 \, u \Delta t \]

"E questo mi torna - fa lei allungandosi sul divano - perché una goccia più in alto di \(u\Delta t\) non fa in tempo ad arrivare sulla superficie. Ora vediamo quando si muove".

Ok, per trattare meglio la situazione consideriamo un riferimento in moto alla stessa velocità dell’oggetto (quindi l’oggetto è fermo); in questo sistema la pioggia non solo cade (velocità \(\vec{u}\) ) ma anche si muove verso l’oggetto (velocità \(\vec{v}\) ), presentandosi quindi alla persona come se avesse una velocità somma delle due (la persona si muove verso sinistra, quindi in questo riferimento la pioggia prende una velocità verso destra):

Quindi la pioggia cade con un angolo \(\alpha\) rispetto alla verticale, che possiamo anche calcolare:

\[ \tan \alpha = \frac{v}{u} \]

"Miaoooo! Ecco qui! L’angolo non mi interessa, ma se la pioggia vien giù di sbieco, allora il cubo si bagna anche davanti!", Cloe appoggia le zampe sul bracciolo del divano, molto interessata.

Certo! Proviamo a disegnare i volumi d’acqua che arrivano nel tempo \(\Delta t\) sia sopra che davanti. Per la parte superiore, il volume non cambia: infatti la forma si inclina solamente: per una parte di pioggia che non viene presa (quella verso la parte posteriore), c’è quella davanti: l’altezza del prisma ottenuto è sempre \(u\Delta t\); allora il numero di gocce che colpiscono la superficie superiore è sempre

\[ N_1 = \rho \, L^2 \, u \Delta t \]

Per la parte anteriore, il volume in cui sta l’acqua che colpirà la superficie è sempre un prisma dove la base è \(Lh\) e l’altezza è \(v \Delta t\), per cui il numero di gocce è

\[ N_2 = \rho \, Lh \, v \Delta t \]

e alla fine la persona che corre si becca un numero totale di gocce pari a

\[ N = N_1 + N_2 = \rho \Delta t (u L^2 + v Lh) \]

e ho lasciato \(L\) all’interno della parentesi per farti notare che il fattore che conta è il prodotto tra superficie e velocità perpendicolare alla superficie.

"Hai ragione - dice pensosa Cloe - potremmo persino chiamarlo flusso, che ne dici?"

Giusto! E la quantità d’acqua è minima quando \(v=0\), cioè la persona sta ferma…

"Ma... allora, risulterebbe che bisogna stare fermi per bagnarsi meno? Mi sembra strano..."

Indubbiamente il flusso è minimo in quel caso, però non dimenticare che davanti c’è un \(\Delta t\): se stai ferma molto tempo, ti becchi molta acqua!

"Va bene, ma se corro ho un termine in più, anzi, più corro veloce, più è grande \(v\), più sono le gocce che mi prendo in faccia! Ma allora perché se corro mi pare di bagnarmi meno?"

Beh, perché siamo nella realtà e non nella teoria! Supponiamo di stare allo scoperto per molto tempo: sarebbe come fare il limite per \(\Delta t \to \infty \): il numero di gocce diventa infinito, sia stando fermi che muovendosi. Se invece siamo nella realtà, restando ferma ti prendi infinite gocce, ma se ti muovi prima o poi arrivi ad un riparo e la pioggia non la prendi più!

"Ah, ecco il trucco! - fa ondeggiare la coda - Quindi, se mi trovo a una distanza \(D\) da un riparo, il tempo che ci metto ad arrivarci è

\[ \Delta t = \frac{D}{v} \]

e mi prendo le gocce date da

\[ N' = \rho \frac{D}{v} (u L^2 + v Lh) \]

mentre se sto ferma l’intervallo di tempo diventa infinito e con lui le gocce!"

Proprio così! Inoltre, puoi vedere l’ultima relazione come

\[ N' = \rho D \left( \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) \]

dove il primo termine, relativo all’acqua presa sulla faccia superiore, dipende dal rapporto tra le velocità della pioggia e del movimento e amplifica l’area \(L^2\); mentre il secondo termine, l'acqua presa sulla faccia anteriore, è direttamente proporzionale alla superficie \(Lh\) mostrata all’acqua.

"Ok, e dato che \(u > v\), c’è sempre un’amplificazione, che si riduce correndo più forte! E considerando che sono più lunga che alta, il termine più importante è certamente il primo. Quindi, se piove devo correre il più velocemente possibile al riparo... che poi è quello che faccio sempre!".

Nel caso di un’auto, \(u < v\) e quindi la lunghezza conta meno...

"Sì, ma io non guido... e comunque se fossi in macchina non cercherei un riparo... Tornando alla conclusione di prima, funziona anche con la grandine: mi beccherei qualche chicco in più sul naso, ma poi arriverei al riparo e sarei a posto".

Sì, vero; invece in auto bisogna fare attenzione alla velocità: se \(v\) diventa troppo alta, i vetri potrebbero non sopportare l’impulso dei chicchi. La velocità totale della pioggia e dei chicchi di grandine è

\[ v_{T} = \sqrt{u^2 + v^2} \]

da cui l'impulso \(mv_{T}\) che potrebbe rompere il vetro.

"Diciamo che se incontri la grandine, che tu sia in macchina o in giro, è sempre bene trovare un riparo... - comincia ad arrotolarsi sul divano - Bene, ora che abbiamo dimostrato che quel che faccio di solito è corretto e dimostrabile, direi che posso riposarmi un pochino".

Io avrei ancora una curiosità, visto che guido un’auto, ma la passo anch’io ad un’altra volta...

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Pioggia, grandine e velocità

Questa volta la riunione di Cloe è stata convocata sotto un balcone, al riparo dalla pioggia (per chi non lo sapesse, Cloe è la gattina che permette a me e S. di condividere i suoi spazi e la passione per la Fisica).
Non ho avuto indicazioni di argomenti specifici in ballo; solamente, un paio di giorni fa, l’ho vista mentre dormiva su un libro di statistica e sappiamo che i gatti, quando dormono... probabilmente stanno facendo qualcosa di sconosciuto.

I partecipanti stanno arrivando con la solita noncuranza felina: ne riconosco alcuni. Nell'attesa si dedicano alle solite operazioni (leccarsi il pelo, farsi le unghie o dormire), finché un gattone grigio si stira e dice:

"Amici, visto l’inverno di quest’anno, ho chiesto a Cloe di parlarci un po’ della pioggia, che però vada oltre alle solite cose".

"Buona idea! Posso cominciare io? - fa un gattino a strisce rosse - È vero che in alta montagna la pioggia che mi colpisce fa meno male perché le nuvole sono più basse e le gocce percorrono meno spazio, quindi hanno meno velocità?"
"E chi ti ha detto una cosa del genere?" dice un esemplare tigrato, smettendo un attimo di leccarsi una zampa.
Guardo Cloe: sta rotolandosi sulla schiena e sospetto che stia ridendo...
"Potresti spiegarlo e basta, invece di prendermi in giro - dice il gattino rosso - dopo tutto quello che ci hai detto sull’energia cinetica e potenziale... Mi hanno raccontato di paesi di montagna in cui le nuvole sono certamente più basse che al mare".

Cloe si ricompone: "Non ti stavo prendendo in giro, prendevo ispirazione per rispondere". Si ferma un attimo, poi: "Vedi, hai ragione: l’altezza di una nuvola viene sempre misurata rispetto al mare. Per cui se una di loro si trova a 3000 m sul livello del mare, la stessa nuvola in un posto a 2000 m di altitudine, sarà ad un’altezza di 1000 m rispetto al terreno. Da qui il motivo di quello che ti hanno detto...".

Gattino Rosso si volta verso il Tigre, soffiando (mi pare più una pernacchia, a onor del vero).

"Però… - continua Cloe, Rosso gira la testa - chi te l’ha detto ha dimenticato che la pioggia cade attraverso l’aria e quindi subisce l’attrito viscoso. In pratica, la goccia comincia a cadere, cadendo aumenta la sua velocità, ma da questa dipende l’attrito, che aumenta a sua volta; la cosa va avanti fino a quando l'attrito non uguaglia il peso:

\[ P = F_a \] e a quel punto la goccia, non più sottoposta ad una forza netta, si muove a velocità costante!".

"E quando succede? Se ci mette tanto, allora avevo ragione. Giusto per vedere se mi conviene andare in montagna" chiede ostinato Gattino Rosso.

"Per rispondere, dobbiamo costruire un modello matematico. Cominciamo col supporre che:

• la goccia possa essere considerata quasi sferica;
• la sua velocità non sia grande.

Allora l’attrito può essere valutato dalla legge di Stokes:

\[ F_a = 6\pi \eta r v \]

dove \(\eta \simeq 1,8 \cdot 10^{-5}\, \text{Pa}\cdot \text{s}\), viscosità dell'aria, \(r\) il raggio della goccia. L’accelerazione di gravità può essere supposta costante su un dislivello di appena 3000 m, quindi anche il peso è costante e l’uguaglianza delle due forze porta a

\[ mg = 6\pi \eta r v \quad \Rightarrow \quad v = \frac{mg}{6\pi \eta r} \]

Supponendo il raggio \(r = 1 \cdot 10^{-3} \text{m}\), la sua massa si ottiene dalla densità dell'acqua \(\rho\) e dal suo volume:

\[ m = \rho V = (10^3\, \text{kg/m}^3) \cdot \frac{4}{3}\pi (10^{-3}\,\text{m})^3 \sim \frac{4}{3}\pi (10^{-6}\,\text{kg}) \]

Facendo i conti, la velocità limite è attorno ai 120 m/s... Nessuno nota niente?"
"Ovvio - fa una gattina a tre colori - hai appena supposto una velocità piccola..."
"Bravissima! - scodinzola Cloe - La velocità trovata è troppo alta, non coerente con l'approssimazione fatta!"
"Quindi - fa Grigio - come se ne esce? Usiamo la quadratica?"
"Esatto - risponde Cloe - dobbiamo supporre che l’attrito sia dato da

\[ F_a = \frac{1}{2} C_a \rho A v^2 \]

\(A = \pi r^2\) è la superficie che la goccia mostra all'aria, \(\rho = 1,2\, \text{kg/m}^3\) la densità dell'aria, \(C_a = 0,5\) per una sfera. Allora la velocità limite diventa

\[ v = \sqrt{\frac{2mg}{C_a \rho A}} \simeq 6\, \text{m/s} \]

Naturalmente il vento, le correnti d’aria, possono modificare questo valore medio".

"Ma per rispondere alla domanda, ci manca ancora qualcosa: quando viene raggiunta questa velocità?" fa notare la gattina tri-colorata.

"Hai ragione. Dobbiamo controllare se lo spazio di caduta è sufficiente, che non è una cosa semplice, perché l’accelerazione non è costante: parte da \(g\) per arrivare a zero; bisogna trovare come varia la velocità in funzione del tempo \(v(t)\); per chi vuole vedere cosa ci dice il modello matematico, possiamo applicare la \(F = ma\) al nostro caso:

\[ mg - \frac{1}{2}C_a \rho A v^2 = m \frac{dv}{dt} \] per semplificare questa equazione differenziale conviene inserire la formula della velocità limite: \[ \frac{dv}{dt} = g \left( 1 - \frac{v^2}{v_l^2} \right) \] Salto i soliti passaggi matematici e otteniamo la velocità in funzione del tempo: \[ v(t) = v_l \tanh \left( \frac{g}{v_l}t \right) = v_l \tanh \left(\frac{t}{\tau}\right) \]

La costante \(\tau = v_l / g\) indica la rapidità con cui si avvicina al limite; nel nostro caso \(\tau \sim 0,7\, s\), per cui in 2-4 secondi il limite è raggiunto. Quindi la velocità a livello terra è uguale sia al mare che in montagna!"

"Quando rivedo chi me l’ha detto, gli do’ una zampata che se lo ricorda. Mi ha fatto fare una figuraccia...” conclude Gattino Rosso.

"E invece cosa succede con la grandine? - chiede un gatto bianco con un’orecchia bassa, finora in silenzio - Quella fa male sul serio, una volta mi ha beccato mentre ero in un prato..."
"Non cambia granché: rispetto ad una goccia, il coefficiente \(C_a\) è un pochino più basso, per cui la velocità limite aumenta, ma di poco: se fai i conti, trovi circa 8 m/s; sempre a parte il vento".
"Io - dice il Rosso - ho sentito umani preoccupati per la grandine caduta su una delle loro scatole di latta che chiamano 'auto'...".

"Miaaahhoo! Ma quello è un altro discorso, non dipende dalla differenza di velocità!" miagola Cloe.
"Certo - dice Rosso - è perché la grandine pesa di più e quindi fa più danno"
"Che tonto - interviene Grigio - tutti sanno che il ghiaccio è più leggero dell’acqua"
"Allora ti tiro una pallina di ghiaccio e vediamo se ti piace" dice Rosso in un soffio
"Calma, calma - si intromette Cloe - È vero, il ghiaccio è più leggero dell’acqua, ma qui non è questione di sola massa"

"Miaoo, qdm?" dice Tricolore
"Ma se ti ha detto che non dipende dalla differenza delle velocità" dice Grigio.
"Vero! Dipende sia dalla massa che dalla velocità, cioè dalla quantità di moto, come ha detto lei!". Tricolore sbadiglia, sottolineando come fosse ovvio.
"Ricordate che un gattino che va veloce fa gli stessi danni di un gattone che va piano?"
"Fatemi prendere la rincorsa e vi aggiusto tutti, miaooo!" gorgheggia Rosso.

Cloe si sposta in una zona con della terra bagnata e comincia a disegnarci sopra: gli altri si avvicinano, come se ci fosse del cibo.

Ricordate che la legge della dinamica può essere anche scritta come

\[ F = \frac{dp}{dt} \]

cioè, la forza esterna è data dalla variazione della quantità di moto. Nel nostro caso, la forza è quella fatta dal piano orizzontale per fermare la goccia, che è la stessa forza fatta dalla goccia sul piano. Supponiamo che goccia e chicco di ghiaccio abbiamo la stessa massa, cosa abbastanza vera

Quando la goccia, posizione 1, cade sulla superficie orizzontale, di solito cambia forma, magari si divide in mille goccioline: in generale, comunque, l’acqua resta sulla superficie, posizione 2; l’urto della goccia è completamente anelastico. Se \(m\) è la massa d’acqua e \(v_g\) la sua velocità prima di arrivare a terra, la forza fatta dalla goccia sul piano è

\[ F_{\text{goccia}} = \frac{0 - m(-v_g)}{\Delta t} = \frac{mv_g}{\Delta t} \]

Ora consideriamo il chicco di grandine; la differenza sta nel fatto che il chicco è in qualche modo elastico: quando urta il piano non si rompe, ma rimbalza indietro, posizione 4

Non sappiamo la velocità del rimbalzo, sappiamo solo che c’è ed è minore della velocità di caduta, un po' di energia se ne va nell'urto, magari nel rumore che fa. Sfruttiamo la nostra esperienza: quando cade la grandine, quanto è grande il rimbalzo di un chicco?"
"Circa tre zampe" risponde Grigio.
"Per me sono almeno cinque zampe" afferma Rosso.
"Ok, traducendo, il rimbalzo potrebbe essere di circa 5 cm; allora, dalla conservazione dell’energia meccanica, trascurando l’attrito con l’aria..."
"Ma prima non l’abbiamo trascurato, tanto da ottenere la velocità limite. Possiamo considerare l'energia conservata?" interviene Tricolore.
"Non nell'urto, ma in quello che succede subito dopo, sì: qui la velocità è bassa ed il tragitto molto breve; quindi, facendo i calcoli, energia cinetica in basso ed energia potenziale in alto per \(h =\) 5 cm, la conservazione mi dice che la velocità con cui rimbalza il chicco è

\[ v_r = \sqrt{2gh} \simeq 1\, \text{m/s} \]

Per il chicco di grandine la forza esercitata è

\[ F_\text{chicco} = \frac{mv_r - m(-v_c)}{\Delta t} = \frac{m(v_r + v_c)}{\Delta t} \]

"E come facciamo a trovare \(\Delta t\) ? chiede Tricolore
"In effetti, sappiamo solo che è molto piccolo, come in tutti gli urti, ma possiamo pensare che sia lo stesso per la goccia e per il chicco. Allora facciamo il rapporto tra le due forze, che non dipende dall’intervallo di tempo in cui avviene l’urto:

\[ \frac{F_\text{chicco}}{F_\text{goccia}} = \frac{m(v_r + v_c)}{mv_g} = \frac{v_r + v_c}{v_g} \simeq 1,5 \]

Eccolo qui il motivo per cui il chicco fa più male della goccia: la forza fatta sul piano è il 50% più alta per il chicco!"

Gli uditori restano in silenzio; Cloe aggiunge:

"Da qui la sensazione di dolore quando un chicco vi colpisce. Notate anche che la massa non c’è: il rapporto dipende solo dalle velocità"
"Il rapporto. - dice Tricolore - Perché invece le forze dipendono dalla massa, eccome"
"Certo, un chicco da 10 grammi fa molto male, ma sempre il 50% in più di una goccia di 10 grammi"
"Quindi - conclude Grigio - confermiamo che è bene non andarsene in giro sotto la grandine"

"M(i)aaaaooo… vorrei sapere se è bene correre quando piove..." dice Rosso.
"Questa è una cosa divertente ma un po’ lunga, ne parliamo la prossima volta. Per oggi abbiamo discusso abbastanza. Se volete potete restare qui al riparo, ma io vado: ho sentito dal profumo che il mio umano sta preparando il pollo e se non mi faccio sentire, gli posso sottrarre un pezzo d’ala... e faccio anche un po’ di movimento, che ne sento proprio il bisogno... Miaoo"

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Altezza dalla velocità, in bici

Quale migliore occasione per ragionare di Fisica che trovarsi lungo una dolce montagna, su una bici che scivola senza pedalare lungo una discesa? A dir la verità, mi è capitato di guardare display della bici subito prima di scendere e appena arrivato in fondo, non mi aspettavo una discesa così ripida: l’idea di trasformarlo in un esperimento è venuta in seguito (mi sono fermato per segnarmi i dati sul telefono… e poi l’ho elaborati qualche mese dopo!).

La domanda pretesto è stata: “Accidenti, ma quanto era alta questa discesa?”. Gli unici dati a disposizione sono:

• la velocità \(v_1\) all'inizio della discesa
• quella finale \(v_2\) in fondo

e quello che voglio conoscere è l'altezza da cui sono sceso. Con solo questi dati mi debbo affidare a uno dei principi più importanti della Fisica: la…

Conservazione dell'energia

Il sistema composto da me e dalla bici, all’inizio ha una parte di energia dovuta al fatto che si sta muovendo (energia cinetica \(K_1\)) e una parte dovuta per il fatto che si trova lì, in alto rispetto al fondo della discesa (energia potenziale \(U_1\)). L'energia meccanica totale del sistema è

\[E = K_1 + U_1\]

Quando arriviamo in fondo alla discesa, non possiamo più scendere oltre, per cui non abbiamo più energia potenziale (\(U_2 = 0\)), ma abbiamo ancora energia cinetica \(K_2\). Se l'energia totale deve essere la stessa, posso uguagliare i valori iniziale e finale:

\[K_2 = K_1 + U_1\]

Questa ci dice che l’energia potenziale è scomparsa, trasformandosi in energia cinetica. Ricordando le formule dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale:

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 + mgh = \frac{1}{2} mv_2^2 \]

dove \(g\) è l’accelerazione di gravità, conosciuta e m la massa, quantità sconosciuta, che però compare in tutti i termini, quindi può essere semplificata (Galileo aveva ragione a dire che la massa di un corpo che cade non conta!).
Ora risolvo rispetto ad h ed ottengo:

\[ h = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} \]

Osserviamo la formula: l’altezza così ottenuta non dipende proprio dalla differenza delle velocità, ma dalla differenza dei loro quadrati: questo amplifica l’effetto! (Fare 4-2 è ben diverso da 16-4...)
Notiamo la dipendeza da \(g\) al denominatore: se fossimo sulla luna, con \(g\) minore, otterremmo un'altezza maggiore.
Bene, ora porto i dati nell'unità di misura necessaria (mantenendo le stesse cifre significative) e sostituisco nella formula:

\[ \begin{cases} v_1 = 18,2\, \text{km/h} = 5,06\, \text{m/s} \\ v_2 = 32,6\, \text{km/h} = 9,06\, \text{m/s} \end{cases} \]

ed ottengo il valore \(h = 2,88 \) m. Potrebbe sembrare poco, ma psicologicamente 3 metri in orizzontale sembrano meno di 3 metri in verticale (che poi corrisponde ad una rampa di scale...). Il problema semplice termina qui, con quello che cercavo.

E l'attrito?

In effetti ho fatto una grande semplificazione: mentre scendevo, sentivo aumentare il vento sul viso, quindi c’era attrito con l’aria. L’attrito è una forza dissipativa: una parte dell’energia totale viene trasformata in calore (non si sente perché, appena generato, viene portato via dall’aria stessa, ma il viso, la bici, ecc… si scalderebbero).
Quindi l’energia cinetica finale misurata è minore di quella che avrei avuto scendendo da quell’altezza se non ci fosse attrito. Allora la velocità senza attrito avrebbe dovuto essere più grande, di conseguenza anche l’altezza. La conclusione è che l’altezza vera è maggiore di 2,88 metri!
Ma essendo una forza che non conserva l’energia, come posso usare proprio la conservazione dell’energia?
Introducendo un termine che tiene conto dell’energia dissipata! Meglio: devo sottrarre qualcosa all’energia totale. Ma quanto?

In generale, il calcolo preciso è un po’ complesso, ma vediamo come posso ottenerne una valutazione senza perdermi nella matematica. Devo supporre che non ci fosse vento (e mi pare fosse proprio così). La velocità è abbastanza alta per creare vortici d’aria (e si sentono!), per cui devo usare la dipendenza quadratica dalla velocità: la forza d’attrito è

\[F_\text{aria} = k v^2\]

ed il coefficiente \(k\) ha una forma del tipo:

\[k = \frac{1}{2} C_a \rho A\]

dove

• \(A\) è l'area (corpo + bici) che fa resistenza all'aria;
• \(\rho\) = 1,2 kg/m³ è la densità dell'aria;
• \(C_a\) è un coefficiente aerodinamico adimensionale che dipende dal corpo

Da alcuni siti specialistici sul ciclismo, trovo che un valore tipico per una postura eretta del ciclista è attorno a 0,45-0,55 kg/m. In effetti, l’area del corpo è attorno a 0,8-1,0 m²; il coefficiente aerodinamico è 0,5 per una sfera liscia: non essendo rotondo e nemmeno liscio, posso pensare a 0,8-0,9, introducendo la struttura della bici. Se uso questi valori, ottengo 0,55 kg/m, in linea con quanto trovato in rete. Decido di usarne uno intermedio: 0,50 kg/m.

Per trovare l'energia dissipata, devo calcolare il lavoro di questa forza, che ha sempre verso opposto alla velocità, quindi lavoro negativo:

\[L_a = \vec{F} \cdot \vec{s} = - Fs = kv^2 s\]

dove s è lo spostamento durante la discesa. Però la velocità cambia al variare della posizione (è un moto accelerato!):

\[v = v(s)\]

Devo allora sommare tutti i piccoli lavori per ogni tratto di percorso in cui possa considerare costante la velocità; in pratica, sto facendo il solito discorso per l’introduzione di un integrale:

\[L = -k \int_0^D v^2(s)\; d\! s\]

dove \(d\! s\) è la lunghezza infinitesima di ogni spostamento e \(D\) è la lunghezza totale del tratto percorso. Peccato che la funzione \(v(s)\) non sia nota: è un moto accelerato con accelerazione non costante; dovremmo risolvere un'equazione differenziale nella velocità. Proviamo invece a proseguire con meno complicazioni.
Se la velocità fosse costante, potremmo portarla fuori dall’integrale, che diventerebbe semplice (avremmo la lunghezza \(D\)). Un buon valore costante è la media; però la velocità compare al quadrato, per cui inseriamo la media dei quadrati:

\[v_m^2 \sim \frac{v_1^2 + v_2^2}{2} \simeq 53,8 \; \text{m}^2 / \text{s}^2\]

Così il lavoro diventa

\[L = -k v_m^2\int_0^D \; d\! s = -k v_m^2 D\]

Però non ho misurato la lunghezza \(D\) della discesa; a occhio, ricordo che poteva essere attorno a 12-15 metri. Per controllare che sia un numero coerente, provo a calcolare l'inclinazione corrispondente:

\[ D \sin \alpha = h \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = \frac{h}{D} \simeq 0.22 \]

e la calcolatrice mi dice che siamo attorno ai 12°, che corrisponde ad una pendenza di di circa 20%. È un po' grande, ma ricordo che la disceca era ripida, anzi, è stato questo a spingermi a voler calcolare l'altezza! Quindi la supposizione è coerente: inserisco i dati e calcolo l'energia dissipata:

\[ L = - (0,50\, \text{kg/m}) (53,8\, \text{m}^2 / \text{s}^2) (15\, m) \simeq -400\, \text{J} \]

Questa è l’energia che deve essere tolta dall’energia totale; l’equazione di prima diventa (\(h'\) è la nuova altezza)

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 + mgh' + L = \frac{1}{2} mv_2^2 \]

Questa volta non posso semplificare la massa: suppongo che tra il mio peso e quello della bici elettrica, la massa sia attorno ai 100 kg; risolvendo rispetto ad \(h'\) si ha:

\[ h' = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} - \frac{L}{mg} = h + \frac{|L|}{mg} \]

Ho esplicitato che il lavoro è negativo, per mostrare che si tratta di una aggiunta; la differenza è data dal termine:

\[ \frac{|L|}{mg} \simeq 0,41\, \text{m} \]

Quindi, con l'attrito, la stima passa da 2,9 a 3,3 metri; una correzione del 14%.

Controllo

Ora si tratta di vedere se le approssimazioni fatte hanno senso. Se avessimo voluto essere più precisi, avremmo dovuto risolvere l'equazione differenziale ottenuta dalla legge fondamentale \(F = ma\):

\[ k v^2 - mg \sin\alpha = m \frac{dv}{dt} \]

che fornisce una funzione \(v(s)\) del tipo riportata in figura (ho usato i dati dell'esperimento - in orizzontale la posizione della bici lungo la discesa, in verticale la velocità).
Notiamo due cose:

• La rapidità di crescita della velocità (cioè l'accelerazione) diminuisce con l'aumento della distanza tendendo ad un valore limite, come atteso;
• per brevi tratti, in particolare entro i 15 metri iniziali, la velocità cresce in modo praticamente costante; ha quindi avuto senso considerare la media.

L'importanza dell’effetto cambia se consideriamo un range di velocità diverse, per esempio per un’auto, dove l’amplificazione dovuta al quadrato delle velocità si fa sentire. Se poi il coefficiente aerodinamico diventa grande (per un paracadutista, per esempio), la velocità limite viene raggiunta più rapidamente e le approssimazioni fatte non valgono più.

Per completare il controllo e confermare il grafico qui sopra, posso trovare la velocità limite: viene raggiunta quando la componente della forza peso lungo la discesa uguaglia la forza d'attrito:

\[ mg \sin\alpha = k v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{mg}{k}\sin\alpha} \simeq 20\, \text{m/s} \]

Nel nostro caso siamo ben distanti da questo limite e le approssimazioni fatte continuano ad avere senso.

Riassumendo

Ho prima applicato la conservazione dell’energia al compito semplice di trovare l’altezza da cui sono sceso. Poi ho provato a raffinare la misura, introducendo la resistenza dell’aria. Mancandomi dei dati, ho provato a dare una loro valutazione, facendo attenzione di ottenere dati sensati e controllando che non andassero contro le approssimazioni fatte. In questo modo, sono arrivato ad un risultato approssimato ma coerente.
I fisici sono spesso rimproverati di vivere in un mondo fatato, senza attrito; ho appena mostrato che la Fisica ha i mezzi per trattare bene l’attrito: se però lo si introduce già all’inizio:

• si rischia di perdere di vista i concetti fondamentali, senza vedere le leggi più grandi che governano la realtà;
• a parte casi particolari, in cui si cerca precisione, il trascurare l’attrito non crea grandi differenze.

Auguro a tutti delle belle passeggiate in bici: alla prima discesa, sapete cosa fare!

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L’energia del movimento

Qualche sera fa, Cloe (per chi non mi ha finora seguito - male - si tratta della gattina che condivide il suo appartamento con me e S.) salta sulla scrivania, si siede elegantemente arrotolando la coda attorno alle zampe e mi osserva, mentre tento di ottenere da ChatGPT il codice di una funzione ricorsiva in javascript. Non mi piace essere osservato mentre provo a risolvere un problema, per cui dopo qualche minuto la guardo con aria interrogativa.

“Miao - fa lei - stai facendo nulla di importante?”

Definisci importante, rispondo; comunque dimmi cosa ti turba.

“In realtà, nulla, perché non mi impedisce di gettare giù dalla scrivania questa penna e poi guardare dove è finita… però vorrei discutere di una cosa…”

Dimmi pure, tanto ho capito che se voglio risolvere questo problema javascript, devo smettere di pensarci…

“Bene - sposta la penna sopra un foglio bianco - l’altra sera hai lasciato aperto un libro, dove era scritto che l’energia è una delle grandezze fisiche più importanti. Ho sfogliato qualche pagina (forse qualcuna l’ho anche graffiata, ma è leggibile). Il mio dubbio è: alla fine, cosa è l’energia?”.

Accidenti, l’argomento è molto interessante! Se vuoi essere rigorosa, l’energia rappresenta la possibilità che ha un corpo di compiere lavoro.

“Va bene - fa Cloe sbuffando e guardando il soffitto - questo lo sapevo anche prima di leggere quel libro. Cambio la domanda: cosa è il lavoro? E non mi rispondere che è il prodotto scalare tra la forza agente sul corpo e lo spostamento del corpo (\( L = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r}\)), anche questo lo so già. E anche che il lavoro non è la fatica che si fa”.

Beh, intanto cominciamo a osservare le dimensioni: forza per lunghezza, ma anche massa per velocità al quadrato, anche chiamato joule.

“Ricordati che si pronuncia ‘dʒuːl’ (alla francese): l’Oxford Dictionary sostiene che in quel periodo la famiglia di Sir Prescott Joule (che tra l’altro era un birraio) si faceva chiamare in quel modo”.

Hai ragione, colpa dell’abitudine: i miei prof lo chiamavano all’inglese (hai graffiato anche il dizionario?)

“Fa niente, basta capirsi (e no, non ho graffiato il dizionario). Tornando al problema, se con la zampa spingo la penna, faccio una forza e la penna si sposta di un centimetro: ho fatto del lavoro, giusto?”.

Sì, hai fatto del lavoro sulla penna.

“E cosa è successo alla penna, che riceve il lavoro?”

Sì è spostata e, se non fosse per l’attrito, starebbe viaggiando sulla scrivania, fino a cadere, per la tua gioia.

“Uhm, quindi il mio lavoro è finito in attrito e la penna si è fermata, rimasta senza energia e nessuno se ne accorge, perché l’eventuale calore generato è troppo piccolo e la scrivania ha una grande capacità termica, tanto da non cambiare apprezzabilmente la sua temperatura. Ma torniamo all’inizio, trascuriamo l’attrito, come fate spesso voi fisici: cosa succede alla penna?”

Come ti ho detto: senza attrito, continua a muoversi e, dato che non la stai più spingendo, la sua velocità è costante.

“Ma è cambiato qualcosa da quando ha energia? Ha lo stesso colore? La stessa lunghezza? È più calda? Più fragile?”

Assolutamente no, è la stessa penna di prima. Ha energia cinetica, cioè dovuta al movimento, ma non è cambiata.

“Sì, dal greco kinésis, movimento, a quel che so. Ma mettiamola al contrario: se non cambia niente, come faccio a sapere che adesso ha energia?”

Misurando la sua velocità!

Eh no! Il cane si morde la coda! (che stupido, detto fra noi): se si muove ha energia, ma se ha energia vuol dire che si muove! Ma nella penna non è cambiato nulla! Se tu prendessi questa penna e la sfregassi con uno straccio, si scalderebbe e magari si caricherebbe elettrostaticamente, effetti che mi dicono che gli hai passato energia! Ma qui?”

Ma è proprio il fatto che ha velocità che mi dice cha ha energia cinetica. Ho dimenticato di dire che, nella discussione, Cloe si sta rotolando sulla scrivania.

“Se corro a fianco della penna, alla sua velocità, vedrei la stessa cosa di quando è ferma”

Di sicuro, ma in quel caso la penna è ferma rispetto a te (interessante questa cosa), per cui mi sembra comunque ovvio.

“Non complichiamo - si rimette sulle zampe e trotterella all’altro lato della scrivania - il fatto è che la presenza dell’energia non modifica la penna in alcun modo misurabile”

No, l’unica differenza è che ora può fare lavoro: se urta una pallina, la mette in moto.

“Ecco il punto! Non ci sono cambiamenti geometrici o comunque visibili: l’energia è una cosa che vi siete inventati per giustificare matematicamente quello che si vede negli esperimenti!”

In effetti non hai torto! Come per ogni descrizione matematica della realtà, negli esperimenti i fatti avvengono come se un oggetto in movimento avesse in sé qualcosa che gli permette di compiere lavoro: questo qualcosa è chiamato energia!

“Perfetto, ora mi è chiaro! Facendo un confronto, se mordo una matita e la accorcio, il risultato è che quando misuro la sua lunghezza, la trovo più corta. Nel caso dell’energia, devo misurare quanto lavoro posso ottenere dalla matita prima che si fermi!”

Beh, non ci avevo pensato: se dovessi misurare l’energia cinetica di un corpo, l’idea sarebbe di farlo interagire con un altro corpo, lo strumento di misura, che possa misurare l’energia iniziale dal passaggio di lavoro. Alla fine la penna sarebbe ferma, quindi la misura è distruttiva, ma ha senso. Per la lunghezza uso un metro, per la massa una bilancia, per l’energia questo misuratore di lavoro.

“E sempre per semplificare, se non c’è attrito tutto il lavoro che faccio sulla penna va ad aumentare la sua energia, giusto? Ma allora è necessario introdurre il lavoro? Non può bastare l’energia? Tanto sono la stessa cosa, con la stessa unità di misura”

In teoria! L’energia può apparire sotto forme diverse e non tutte sarebbero facili da trattare: partendo dal lavoro, che alla fine rappresenta il modo con cui l’energia si trasferisce da un corpo all’altro, possiamo creare modelli matematici con cui trattarle.

“Allora trattiamo l’energia cinetica! Fammi pensare: - si mette ventre a terra, come se dovesse scattare -  se do una zampata alla penna, questo lavoro cambia l’energia cinetica della penna stessa; quindi \( L = \Delta K = K_f \), perché la penna all'inizio è ferma (ho letto che questa relazione viene chiamata teorema dell'energia cinetica, o peggio teorema delle forze vive, come esistessero le forze morte; ma secondo me gli si da troppa importanza: è solo una conseguenza delle definizioni).
Però io so che \(F = ma \); mentre riceve la forza, la penna accelera e questa accelerazione è data dalla relazione del moto accelerato dove non compare il tempo, la cosiddetta formula utile, per cui

\[ ma = m\frac{v_f^2 - v_i^2}{2 \Delta x} = m\frac{v_f^2}{2 \Delta x} \] Se la inserisco al posto della forza e moltiplico per lo spostamento, il lavoro è \[ L = F \Delta x = ma\Delta x = m \frac{v_f^2}{2 \Delta x} \Delta x = \frac{1}{2}mv_f^2 \] Tutto giusto? Mi pare sia proprio la formula matematica dell'energia cinetica"

Proprio così! La formula indica che dipende dalla massa del corpo. Se due corpi hanno stessa energia cinetica, il rapporto tra le due masse è

\[ \frac{m_1}{m_2} = \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2 \]

Vedi che interpretare la variazione di energia cinetica come lavoro fatto sul corpo (oppure ottenuto dal corpo) è vantaggioso?

"Va bene; resto comunque dell’idea che l’energia è un’astrazione che usiamo per spiegare il comportamento della realtà…”

È vero, ma tutta la Fisica non fa altro che immaginarsi leggi e grandezze che spieghino la realtà, studiandosi esperimenti per confermare o meno se tali modelli sono validi. Noi fisici non spieghiamo come è veramente la realtà, perché non è possibile…” ma Cloe comincia a leccarsi una zampa, poi l’altra e a passarsele sul muso, segno che la discussione è arrivata al termine:

“Ora devo assimilare le mie conclusioni: magari la prossima volta parleremo di altre forme di energia. Per ora è sufficiente, devo dedicarmi alla mia pulizia”.

Va beh, nel frattempo ho avuto un’illuminazione: forse ho capito perché il mio javascript non funziona: vediamo…

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Il riferimento assoluto e quelli non inerziali

Dall'ultima volta che ho discusso con Cloe (la mia gatta) sulla velocità della Terra a zonzo per lo spazio (per chi si fosse perso il resoconto, lo può trovare a questo link), avevo notato come Cloe girasse pensierosa per la casa: aveva anche aumentato il numero di cose buttate giù da tavolini, mobili e altre posizioni elevate (tutto a scopo scientifico, naturalmente).

Non sono così sicuro che quanto riporterò sia successo veramente o se me lo sia sognato. Comunque ho sentito rumori sul balcone e mi sono avvicinato... La suddetta Cloe, sopra un vaso capovolto stava parlando ad altri 4 gatti: due li conosco, abitano in appartamenti vicini. Gli altri due invece non li ho mai visti, devono essere stati invitati. Sono tutti molto seri.

"Capite? - dice - a noi sembra di stare fermi , mentre invece questo enorme sasso si sta muovendo a velocità incredibili!"

"È sempre giusto saperlo, non si sa mai - dice Gatta 3 - ma dove vuoi arrivare?"

"Il fatto è che quando ci viene voglia di fare qualche esperimento, tipo far volare un tappo dal tavolo o saltare su quel mobile in alto, dobbiamo sapere come si sta muovendo il nostro laboratorio, altrimenti si rischia che il salto non si concluda come previsto. E questo è altamente disdicevole"

"In effetti - fa Gatto 2 - se sbaglio il salto, rischio di saltare anche il pranzo, il che genera fastidi..."

"Bene, cerchiamo di studiare la situazione! Quello che non viene mai detto è che la prima e la seconda legge di Newton valgono soltanto in un sistema inerziale. Ma vi domando: esiste un sistema inerziale?"

"Se lo chiedi, vuol dire che non è detto - risponde Gatto 2 - Però basta prendere un oggetto fermo, appioppargli un sistema di riferimento e siamo a posto". Vedo la coda di Cloe agitarsi: "Ah sì? E fermo rispetto a cosa, di grazia?"

"Rispetto a me" dice Gatto 2, ma viene preso a zampate dalla vicina Gatta 3: "Pensi di essere Tolomeo al centro dell'Universo?", seguita da un'altra zampata.

"Ordine, ordine! - dice Cloe - Abbiamo visto che la Terra ruota su se stessa, quindi non è un sistema inerziale; d'altra parte, ruota anche attorno al Sole, proprio non se ne parla. Però anche il Sole gira attorno al centro della Via Lattea... quindi?"

"Quindi il sistema inerziale non esiste? - fa Gatto 1 - e tutta la Fisica non sta in piedi?"

"Sarà che il mio umano è un fisico - dice Cloe - ma ho imparato che le cose si possono anche approssimare! Altrimenti come avrebbe fatto Galileo a pensare alla prima legge, poi scritta da Newton, quando viveva in un mondo pieno di attriti?"

“Suppongo Galileo non sia il mio amico del condominio a fianco… miaooo”. Zampata di Gatta 3 a Gatto 2. 

"Quando ha visto che una palla appena scesa da uno scivolo poteva risalire lungo una salita solo fino all’altezza che aveva prima, ha pensato che se non ci fossero salite e attriti, poteva muoversi all’infinito: ma ha solo potuto pensarlo! Cioè l'ha approssimato!”.

"Ecco perché i miei esperimenti non portano a nulla - (Gatto 1) - io non ho palline, ma solo gomitoli pelosi e roba non rotonda. L'altro giorno ho trovato una penna sotto il mobile e..."

"Non perdiamo la con-cen-tra-zio-ne! - si impone Cloe - Se devo fare l'esperimento della pallina che corre in casa, la Terra mi va bene come sistema inerziale! Ma se guardassi quella pallina dalla Luna, non la vedrei andare dritta, ma seguendo una traiettoria curva. Mi sono documentata: gli umani hanno deciso che le stelle distanti (le chiamano stelle fisse) sono, appunto, talmente distanti che possono essere considerate immobili, appunto approssimando: ecco il sistema cercato! Allora tutti i sistemi che si muovono a velocità costante rispetto alle stelle fisse, possono essere definiti inerziali."

"Il solito misto di umanità, matematica e fisica" dice Gatto 4, che a quanto vedo è di poche parole.

“Ho capito - Gatta 3 - esistono infiniti sistemi inerziali. Galileo dice che non possiamo sapere se uno di questi è fermo o in moto, a meno di non affacciarsi al finestrino, perché qualunque esperimento che facciamo ci mostra lo stesso risultato. E Newton è partito da lì ed ha scritto la prima legge: se non tocco la pallina, questa o sta ferma o si muove all’infinito sempre con la stessa velocità. Poi ha fatto un po’ di prove con le forze, magari l’ha fatte il suo gatto, trovando che l’accelerazione è proporzionale alla forza che la genera".

"Secchiona!" questo è Gatto 2, che si riceve un paio di zampate da Gatta 3, che dice: "Ma allora, se sono nel trasportino in macchina con il mio umano e questo decide di frenare, non sono più in un sistema inerziale. Se frena con accelerazione a, io vengo spinta verso la porticina (che purtroppo non si apre): chi è che fa quella forza?"

"Eccola! - strilla felice Cloe - hai beccato l'esperimento giusto! Quella forza che ti spinge verso la porta del trasportino non esiste! O meglio, esiste solo per te! Per me che ti guardo dal balcone, vedo l'auto che rallenta e tu che continui ad andare avanti e per quel motivo ti schiacci contro il cancelletto!"

"Quindi, l'ultima volta che ci ho sbattuto il naso... era tutto finto?"

"Per te no, ma la forza dipende dal fatto che non sei su un sistema inerziale. È una forza fittizia, nessuno ti ha spinto veramente. Un sistema non inerziale è individuabile anche stando al suo interno proprio perché ci sono forze fittizie: i corpi si muovono senza che nessuno li tocchi!".

"Fittizia o no, quando sei nel trasportino la senti - interviene Gatto 1 - e sarà possibile calcolarla, no?"

"Sì - fa Cloe, quasi facendo le fusa - se la macchina frena con accelerazione a, la forza che senti è

\[ F_\text{fittizia} = -m a \]

Il segno 'meno' è dovuto al fatto che se la macchina frena, la forza spinge in avanti e se accelera spinge indietro, cioè la forza ha sempre il verso opposto all'accelerazione. Ma la cosa più divertente è che la massa che compare nella formula è la tua! In pratica più pesi e più la forza fittizia ti spinge.

"Un momento - dice Gatto 4 - significa che se nel traportino c'è una pallina che pesa un decimo di me, questa si muove appena, mentre io sono sbattuto sulla porticina?"

"E no! La forza sarà un decimo, ma l'accelerazione è la stessa! Vi muoverete assieme e finirete assieme contro la porta!"

"Allora - dice Gatto 2 - se so l'accelerazione con cui frena l'auto, posso anche sapere che forza devo fare io con le mie zampe per stare fermo, giusto? Basta calcolare questa forza fittizia, usando la mia massa e fare una forza uguale e contraria sul pavimento del trasportino!"

"Certo! - dice Cloe - basta però che il trasportino o sia fissato al sedile o abbia sufficiente attrito col sedile, altrimenti tu stai fermo all'interno, ma il tuo contenitore se ne va a spasso per l'auto, dall'interno non puoi fare forza sul sedile!"

"Facciamo un modello matematico: - dice la secchiona - io ho massa m (piccola, sono magra), il trasportino ha massa M e l'auto frena con decelerazione a. All'interno, la forza che sento io è quella di prima e devo fare resistenza con le unghie e sto ferma. Ma se il tutto è sul sedile, la forza che sente il trasportino è

\[ F_f = (M + m)a \]

Per fermarlo, qui non ci sono le mie unghie, quindi devo affidarmi alla forza d'attrito col sedile, che è, considerando la reazione vincolare e che il trasportino non salta in verticale:

\[ F_a = \mu (M + m)g \]

Ora, perché il trasportino non si muova, l'attrito deve essere uguale alla fittizia (la potremmo chiamare forza d'inerzia); uguagliandole, il coefficiente di attrito deve essere

\[ \mu = \frac{a}{g} \]

Ehi! Ma l'attrito necessario non dipende dalla massa! Se al mio posto ci fosse il mio umano, sarebbe la stessa cosa. Come lo spieghi?"

Cloe ci pensa un attimo, poi "Giusto! Hai ragione a chiederlo: la massa che entra nella formula dell'attrito è quella gravitazionale, usata per calcolare il peso, mentre quella che entra nella forza fittizia è massa inerziale, quella che si oppone alla variazione di velocità.

\[ \begin{cases} F_f = - (m + M) a & \quad & \text{massa inerziale} \\ F_a = \mu (m + M) g & \quad & \text{massa gravitazionale} \end{cases} \]

Il processo fisico è diverso, ma capita che i due tipi di massa siano sperimentalmente uguali, per cui uguagliando le due forze, possiamo semplificare le masse, che quindi scompaiono dalla formula! Ogni cosa nell'auto sta ferma o meno solo in dipendenza dal coefficiente di attrito, qualunque sia la sua massa".

"Bene, se io devo volare all'interno del trasportino, lo dovrà fare anche il mio umano!" - dice soddisfatto Gatto 1.

"Ma solo se il coefficiente d'attrito è lo stesso..." - ricorda Gatto 4 - Comunque questo fatto delle due masse uguali è affascinante..."

"Ti dirò di più - dice Cloe - Per lo stesso motivo, quando ti butti da una finestra (un gatto non cade mai), mentre scendi sei un sistema che ha accelerazione g verso il basso, quindi risenti di una forza fittizia mg verso l'alto (massa inerziale), che va ad eguagliare la tua forza peso mg verso il basso (massa gravitazionale). Per questo, mentre cadi, ti senti senza peso; e se buttandoti hai trascinato con te una pallina, la vedrai galleggiare al tuo fianco, perché cade con la stessa accelerazione (fino a che la resistenza dell'aria non comincia a farsi sentire per entrambi...)".

Gatta 3 aggiunge: "Mentre se ti vedo dal balcone mentre cadi, la forza è una sola, quella di gravità mg, che spiega da sola l'accelerazione con cui stai scendendo, uguale per te e per la pallina".

"Però - dice Gatto 4 - questo esempio non è tuo: ho letto che l'ha pensato un certo Einstein: ne ha fatto la base di una sua teoria e così ha imposto che i due tipi di massa debbano essere uguali. Come al solito, matematici e fisici, quando vedono una cosa importante che non possono dimostrare, la impongono come base e sono contenti".

"Beh - fa Cloe - non è proprio così, anche se... Comunque, mi pare di aver sentito dei rumori in cucina, l'ora di cena è vicina, per cui vi saluto. Vorrei ancora discutere con voi di un altro tipo di sistema non inerziale, ma ora sarebbe troppo lunga e sento un po' di fame. Per cui vi saluto, vi farò sapere quando sarà la prossima riunione".

"Ok, però dimmelo per tempo, che ho certi giri che non posso spostare..." dice il mondano Gatto 2.

Se ne vanno in un turbinio di code, Cloe mi passa vicino facendo finta di non vedermi... Mah... 

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La velocità di quando stiamo fermi

Dato che in questo momento siamo fermi, a che velocità ci stiamo muovendo?

Ho mormorato questa domanda, ma ovviamente Cloe, la gatta che ci permette di vivere nel suo appartamento, faceva solo finta di dormire, perché apre un'occhio e...

• Cosa dici? Sono graziosamente sdraiata sulla poltrona, quindi v=0
• Capisco cosa vuoi dire... ma non è proprio così. Lo sai che la Terra ruota su se stessa come una trottola, scusa, come un gomitolo. E sai anche che noi ci stiamo sopra e quindi stiamo ruotando assieme a lei.
• Ok, ok, va bene: le solite frasi da fisico. Ma non sarà che la velocità sia piccola?
• Per questo possiamo fare due conti - dico - la velocità di rotazione della Terra è nota a tutti...
• Sei sicuro? - mi interrompe - Incontro spesso gente che non sa leggere l'ora da un orologio con le lancette
• Ti dico che questa la sanno: la Terra fa un giro su se stessa una volta al giorno, cioè un giro ogni 24 ore, che poi sono 86400 secondi (in realtà sarebbero 23 ore e 56 minuti, ma lasciamo perdere e arrotondiamo). Quindi basta ricordare il raggio della Terra... e la sua velocità tangenziale si ottiene dalla formula \[ v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi (6,4\cdot 10^6\, \text{m})}{86400\, \text{s}}\; \text{m/s} \simeq 465\, \text{m/s} \simeq 1680 \, \text{km/h} \] Sarai d'accordo con me che questa velocità non è trascurabile!
• Sai che anche se dormo, sono sempre attenta - mi guarda con aria accusatoria - il tuo calcolo riguarda la velocità all'equatore, ma noi siamo a 44 gradi Nord di latitudine, quindi la nostra distanza dall'asse di rotazione è minore, perciò velocità minore!
• Ok, volevo fare le cose semplici - mi ha preso in castagna - In effetti il raggio da considerare è \(r \cos\alpha\), con \(\alpha\) la nostra latitudine. Rifaccio subito il conto...
• Guarda che la calcolatrice sia in gradi, eh...

Modifico la formula di prima per tener conto del nuovo raggio: \[ v = \frac{2\pi r\cos\alpha}{T} = \frac{2\pi(6,4\cdot 10^6\,\text{m})\cdot \cos(44)}{86400\,\text{s}} \simeq 335\, \text{m/s} \simeq 1200\, \text{km/h} \]

Le faccio notare che, comunque, anche questa è una bella velocità: un aereo di linea è normalmente sotto i 1000 km/h.

• Ora son sicura che mi spiegherai perché non mi si arruffa il pelo quando vado sul balcone - fa lei
• Beh, mi pare ovvio: tutto si sta muovendo con noi alla stessa velocità, atmosfera compresa; andare sul balcone non è come affacciarsi dal finestrino del treno: è come passare da una vettura all'altra dello stesso treno. Inoltre, noi percepiamo un movimento quando c'è un'accelerazione, ma qui si muove tutto con regolarità
• Miaooo: traiettoria circolare! Cosa mi dici dell'accelerazione centripeta?
• Buona osservazione: proviamo a calcolarla, usando la velocità appena ottenuta: \[ a_c = \frac{v^2}{R\cos\alpha} = \frac{(335\,\text{m/s})^2}{(6,4\cdot10^6\,\text{m})\,\cos(44)} \simeq 2,4\cdot10^{-2} \, \text{m/s}^2 \]
• Sì, in effetti è piccola: è attorno alla millesima parte di quella di gravità. Però però però: se ti dico che ti stai dimenticando di qualcosa di molto più grande?
• Cosa intendi?
• La Terra gira intorno al Sole e noi con lei: prova a calcolare quella velocità lì
• Va bene, però devi farmi supporre che l'orbita sia circolare e che non ci siano anni bisestili, altrimenti devo cercare i dati
• D'accordo, tanto il fisico sei tu e decidi le tue approssimazioni. Io sono solo una gatta
• Allora: il raggio medio dell'orbita è di 150 milioni di chilometri ed il tempo impiegato per un giro (che ti ricordo, si chiama periodo) è di 365 giorni, che in secondi è \(86400\cdot 365 = 3,15\cdot 10^7 \)s. Uso la stessa formula di prima: \[ v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi (150\cdot 10^9)}{3,15\cdot 10^7} \simeq 29,9\cdot 10^3\, \text{m/s} \simeq 1,07\cdot10^5\, \text{km/h} \]
• Eccola! Abbiamo ottenuto i famosi 30 km/s, solo che scritti così fanno più impressione. Quindi, rispetto alla velocità di rotazione? Quella non diventa trascurabile?
• Certo che sì: è cento volte minore!
• Prima di concludere, fammi ancora un calcolo: l'accelerazione centripeta di questo moto di rivoluzione
• Ok, con la scusa che non puoi pigiare i tasti della calcolatrice... anche se so che se volessi, sapresti farlo benissimo...
• Gnauuu
• Qui non ci sono problemi di latitudine, supponendo la Terra un punto, per cui \[ a_C = \frac{v^2}{D} = \frac{(29,9\cdot 10^3\,\text{m/s})^2}{150\cdot 10^9\,\text{m}} \simeq 6,0\cdot 10^{-3}\, \text{m/s}^2 \]
• Vedi? Ancora più piccola dell’altra; inoltre le velocità sono talmente diverse che non ha senso considerare che per metà giornata le due velocità si sommano e per l’altra metà si sottraggono: in pratica il risultato è sempre uguale. Aspetta: visto che hai la calcolatrice in mano, con questi dati e la massa della Terra, puoi trovare la forza tra Sole e Terra, ma senza usare la formula dell’attrazione gravitazionale? Me lo chiedevo giusto qualche giorno fa
• Certo! Basta ricordare che \(F = ma\), per cui \[ F = M_T a_C = (5,97\cdot 10^{24}\, \text{kg} ) ( 6,0\cdot 10^{-3}\, \text{m/s}^2 ) \simeq 3,6\cdot 10^{22}\, \text{N} \]
• Perfetto: a me viene lo stesso valore usando invece la formula della gravitazione universale, per cui i tuoi calcoli sono giusti. Quindi confermo che posso tornare a dormire. E nemmeno le forze di Coriolis mi smuoveranno

Si appallottola per bene, muso tra le zampe, il tutto attorniato dalla coda, un po' di fusa e... dorme.

Non posso quindi ricordarle che anche il Sole si muove attorno al centro della Galassia alla velocità media di 230 km/s \(\simeq\) 830 km/h, 3 ordini di grandezza in più rispetto alla velocità di rivoluzione. Tanto mi direbbe che tutte le altre velocità sono trascurabili rispetto a questa, che è l'unica che conta. E siamo così distanti dal centro, che è come se fossimo in moto rettilineo uniforme.

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A che velocità si va?

Il problema

C’è stato un periodo in cui, causa un guasto alla macchina, ho dovuto usare il treno per raggiungere il luogo di lavoro. Il treno è bello perché… guida qualcun altro e c’è tempo di fare altre cose, ritardi a parte… e trascurando i 30 minuti a piedi dalla stazione.

Di solito, leggere un libro era la cosa migliore. Poi ho notato che il percorso tra due stazioni era particolarmente lungo, 3 o 4 minuti buoni, per la maggior parte in galleria, prima del rallentamento per la stazione successiva; avevo anche visto che in quel tratto quasi sempre incrociavamo un treno in direzione contraria.

Un giorno il mio interesse si è svegliato: dalla disposizione dei finestrini e dal colore mi pareva un treno identico a quello su cui mi trovavo… Wow, avevo la possibilità di stimare la velocità dei due treni! Come ha fatto a venirmi in mente? Non so, ad un fisico capita!

Preparativi

Che ci vuole? È noto che la velocità media è data dal rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo impiegato a percorrerlo (da quando esistono i tutor in autostrada, lo sanno tutti):

\[ v = \frac{\text{spazio}}{\text{tempo}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

Per il tempo mi ci vuole un cronografo (l’incrocio durava, a occhio, uno o due secondi): ce l’ho attaccato al polso. È il tempo durante il quale vedo passare l'altro treno: quindi la lunghezza da usare è quella del treno (posso pensare di essere fermo e di veder scorrere l’altro treno).

Ora mi devo procurare la lunghezza dell'altro treno: non posso certo misurarlo direttamente! Però, se mi è parso uguale al mio (stesso colore e disposizione dei finestrini), posso supporre che entrambi abbiano la stessa lunghezza.

Sì, ma quale? Una sera vado a cercare che treni vengono usati per i due servizi: bingo! Si tratta di un ETR e dal colore suppongo sia un ETR 425; confermo che ha 5 carrozze (le ho contate all’arrivo) e scopro che quel tipo di treno è sempre composto dallo stesso numero di carrozze, tutte lunghe uguali. Un’altra ricerca ed ho che i due treni sono lunghi 87 m: (il sito mi da anche i centimetri, ma dubito che le mie misure possano essere così precise).

Quindi ho tutto per calcolare la velocità; prima però di cominciare con le misure, devo capire se quello che sto per fare abbia un senso: cioè, il \(\Delta t\) sarà misurabile con la mia strumentazione (cronometro comandato dai miei riflessi)?

Bene: teoria semplice semplice. Io sono su un treno che si muove in direzione contraria all’altro; quindi la velocità con cui vedo passare l’altro è la somma delle due velocità rispetto al terreno; in modo più formale sarebbe (pongo il sistema di riferimento con l’asse parallelo al mio treno e con la stessa direzione, quindi l’altro ha velocità negativa): 

\[ v = v_1 - (-v_2) = v_1 + v_2 = 2 v_1 \]

dove l'ultimo passaggio è giustificato dal supporre che in quel tratto i due treni viaggino alla stessa velocità. Quindi quella misurata sarà una velocità doppia di quella cercata, per cui

\[ v_1 = \frac{1}{2} \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

Ora, questa linea ferroviaria viene definita nuova più per abitudine: ha infatti una quarantina d'anni, per cui suppongo che la velocità massima non sia superiore ai 120 km/h. Quindi l’intervallo di tempo che mi posso attendere sarà all’incirca di

\[ \Delta t = \frac{\Delta x}{2 v_1} \simeq \frac{(87\, \text{m})}{2\cdot [120 / 3,6] \text{m/s}} \simeq 1,3\, s \]

Uhm, bella sfida! Nemmeno due secondi! Per mettermi nelle migliori condizioni, decido di usare solo per l'incrocio in galleria: questa dura circa 4 minuti o meno, devo mantenere la concentrazione solo in quel periodo. Non basteranno un paio di misure per avere un dato sensato: in ogni caso tutto dipende dalla mia prontezza (a fine giornata... brrr). Ci penso un po', ma non trovo modi per migliorare la situazione. Una ricerca in rete mi dice che una persona in genere risponde ad uno stimolo visivo (l’arrivo del treno) entro 250 ms, un quarto di secondo: mah, chissà…
Decido anche di evitare misure in giorni particolarmente stressanti, per non allargare ulteriormente l'errore.

Risultati

Posso fare una sola misura al giorno (solo al ritorno c’è l’incrocio) e al venerdì ho un orario diverso: nel caso migliore sono 4 misure a settimana. Ma poi ci sono i ritardi (di un treno o dell'altro!). La prima settimana è sfortunata: 1 misura sola valida (anche un controllo biglietti proprio in galleria…).

Il primo risultato è di 1,54 s, ma non faccio calcoli su un solo dato, non voglio aggiungere un bias personale, cioè non voglio tendere al risultato giusto.

Insomma, in due mesi e mezzo ottengo una serie di 20 dati: può essere un buon numero, per cui li metto in grafico per controllare che non ci siano trend strani: (per una copia ingrandita, doppio click sulla figura)

(l'asse orizzontale indica solo la sequenza temporale delle misure). Dal grafico non vedo sequenze strane. In aggiunta mi faccio costruire un possibile istogramma:

Con 20 dati cambiando gli intervalli l'istogramma cambia anche di molto, ma il fatto che possa presentare una distribuzione gaussiana mi conforta.

Mi sento quindi autorizzato a dire che la media matematica dei 20 dati potrebbe essere un buon indicatore:

\[ \bar{t} = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N} t_i = \frac{1,54 + 1,30 + \dots + 1.50}{20} \simeq 1,36 \, \text{s} \]

Con questo valore, posso usare la formula calcolata prima:

\[ v = \frac{\Delta x}{2\Delta t} \simeq \frac{(87\, \text{m})}{2 \cdot (1.36\, \text{s} ) } \simeq 31,99 \, \text{m/s} \simeq 115 \,\text{km/h} \]

Incredibile! Il risultato è molto vicino al valore supposto! Ma non ho finito...

Elaborazione

Lo sperimentatore non fisico di solito si ferma qui: c’è un risultato, nemmeno tanto diverso da quello atteso: posso dire che in media la velocità dei treni (entrambi!) è proprio quella? Non proprio!
Dobbiamo tirare in ballo la statistica (appena avrò un po’ di tempo, preparerò una pagina che spieghi qualcosa di quello che stiamo per usare).

Dobbiamo trovare l’indeterminazione sulla misura del tempo, cioè il suo errore casuale. Per queste cose non troppo avanzate di solito uso risorse online: un sito particolarmente adatto per trovare gli intervalli di confidenza è statskingdom, dove vado a scegliere il capitolo indicato con Mean Confidence Interval. Nella pagina scelgo Row Data come tipo di dati e poi li incollo nel campo corrispondente; scelgo di mantenere gli outlier (non ci sono infatti punti molto diversi degli altri) e dichiaro di non conoscere la deviazione standard (attenzione: il sito accetta il punto come carattere decimale, per cui se abbiamo usato Excel in italiano abbiamo la virgola; prima di fare un copia incolla dobbiamo sostituire le virgole con il punto):

Inoltre scelgo di avere il risultato arrotondato a 2 cifre decimali e una confidenza del 99%; poi clicco sul pulsante Calculate ed ecco il risultato:

Mean confidence interval: [1.28, 1.44]
Alternatively: 1.36 \(\pm\) 0.079

Quindi, ripetendo 20 volte la misura, l’errore finale si aggira sugli 0,08 (8 centesimi) secondi! Il fatto che i dati originali stiano tra 1,1 s e 1,6 s, ma l’intervallo di confidenza trovato sia più stretto [1,28; 1,44]… beh, questi sono i prodigi della statistica!

Per trovare l’indeterminazione sulla velocità trovata, uso un metodo abbastanza artigianale, ma funzionante: considero che la lunghezza del treno sia praticamente senza errore. L’unico è allora sull’intervallo di tempo. Eseguo due volte il calcolo della velocità, la prima usando il valore massimo del tempo [1,44 s], la seconda usando il valore minimo [1,28 s] ed i risultati sono:

\[ v_{m} = \simeq \frac{(87\, \text{m})}{2 \cdot (1.44\, \text{s} ) } \simeq 30,2 \, \text{m/s} \simeq 99,7 \,\text{km/h} \qquad v_M \simeq \frac{(87\, \text{m})}{2 \cdot (1.28\, \text{s} ) } \simeq 33,98 \, \text{m/s} \simeq 122 \,\text{km/h} \]

Il valore vero di quanto misurato deve stare, al 99%, entro l’intervallo [99,7 ; 122] km/h.

Discussione

Non abbiamo finito del tutto: facciamo una analisi a posteriori: questa misura è corretta se:

• il ritardo con cui ho cliccato su Start del cronometro quando è comparso il treno dal finestrino è uguale a quello con cui ho cliccato Stop quando ho visto la coda del treno. In effetti dipende dalla direzione in cui ero seduto: se vedo il treno venire verso di me, può essere che lo veda un poco prima. Lo stesso per la coda. Questo può influire sulla durata dell’intervallo di tempo: potrebbe aver allargato la variabilità. Tipo errore: casuale. Correzioni? Nessuna che mi venga in mente. Effetto finale? Forse l’indeterminazione reale potrebbe essere più stretta.
• L’evento 'inizio treno' appare di colpo, mentre quello 'fine treno' è atteso: se esiste questo effetto, sarebbe di tipo sistematico, in quanto la misurazione potrebbe aver fornito un valore più breve, portando ad una velocità più alta del reale. Posso valutare che sia attorno al tempo di reazione: 2 decimi di secondo. Usando la formula della velocità, potrei aver sopravvalutato la velocità di 2 km/h.
• Il mio tempo di reazione ai due eventi 'inizio treno' e 'fine treno' potrebbe essere stato diverso in giornate diverse: più o meno stanchezza, ecc… Stesse conclusioni del primo punto.
• La velocità del mio treno (e anche quella dell’altro) potrebbero essere diverse in giorni diversi. Anche qui valgono le stesse considerazioni del primo punto.

Queste analisi dei possibili errori mi dicono in sostanza di accettare il valore ottenuto; anche se lo abbassassi di 2 km/h, come discusso al secondo punto, la sostanza non cambierebbe.

Conclusione

Con le ipotesi descritte, la velocità dei due treni sta nell'intervallo calcolato. È un esempio di esperimento che non può essere fatto in laboratorio, in condizioni controllate; per migliorare la misura, dovrei usare delle foto-cellule per registrare il passagio del treno, supponendo che i riflessi del finestrino con creino immagini fantasma e che sia possibile registrare bene la sensibilità della foto-cellula... ma andiamo oltre lo scopo: dovremmo comunque ammettere che sarebbero possibili altri errori, probabilmente maggiori. In ogni caso, con l’aiuto della statistica si può avere un’indicazione sulla ragionevolezza del risultato e alla fine avere in mano un dato sensato.

Due parole sul significato del 99%: il metodo statistico ci dice che, se potessi fare un grande numero (infinito) di queste misure (ciascuna con 20 dati), nel 99% dei casi troverei il risultato finale nell’intervallo indicato.

P.S.: se vi troverete in treno e non saprete cosa fare… non avete più scuse!

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