Come bagnarsi di meno quando piove

Qualche tempo fa, ho discusso con Cloe sulla dimostrazione che serva correre quando piove (a questo link). Nonostante Cloe mi dica che tale dimostrazione sia sufficiente, a me è rimasta una domanda. Che proviene da questo ragionamento:

se vado veloce, prendo più pioggia sulla parte anteriore, ma impiego meno tempo a raggiungere il riparo; se invece vado lentamente, prendo meno pioggia davanti ma ci metto di più.

Esiste una velocità che minimizza l’acqua presa, fissata una distanza dal riparo?

Riassunto

Dalla scorsa volta, Cloe e io abbiamo trovato che la quantità d’acqua è

\[ N' = \rho D \left( \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) \]

dove \(D\) è la distanza dal riparo, \(u\) la velocità della pioggia e \(v\) la velocità a cui mi sto muovendo.

Vista così, la dipendenza è 1/\(v\), quindi più sono veloce, minore è la quantità d'acqua che mi becco. Se poi fossi velocissimo, potrei persino dire che non mi bagno proprio!

Sul tavolo a fianco del computer, Cloe apre un occhio:

"Che è quello che abbiamo detto l'altra volta"

Però non demordo: va bene, più sono veloce, meno pioggia mi prendo. Ma se invece di pioggia si trattasse di grandine? Più vado veloce e più la velocità della grandine aumenta:

\[ v_T = \sqrt{v^2 + u^2} \]

Se sono a piedi, potrei rischiare di farmi male e se sono in auto potrei danneggiare il cristallo.

"Mah, io correrei anche con la grandine - dice Cloe - e poi dovresti sapere a che velocità il cristallo si può danneggiare."

Sono d’accordo, mi mancano molti dati; però mi basterebbe per ora sapere che esiste una velocità che minimizza il rischio, tra molti urti leggeri (quando vado piano) e pochi urti importanti (quando vado veloce).

"Quindi devi costruirti un modello che approssimi il possibile danno… ne hai proprio voglia?" e accompagna questa frase con uno sbadiglio.

Il modello

Visto che la cosa mi interessa, vado avanti lo stesso, gatti o non gatti.

Le grandezze papabili sono due: quantità di moto e energia cinetica. L’impulso mi porterebbe a lavorare sulla forza scambiata con il cristallo dell’auto… Ma forse è meglio passare dall’energia (è anche comodo, non essendoci vettori ma solo moduli): in questo caso la velocità compare addirittura al quadrato! Bene, aggiudicato: il possibile danno fatto da un chicco di grandine dipende dall’espressione

\[ K = \frac{1}{2} mv_T^2 = \frac{1}{2} m \sqrt{u^2 + v^2} \]

Il danno totale dipende da quante gocce arrivano sull’auto, ma per questo abbiamo già il numero di gocce che ci prendiamo: basta moltiplicare per l’energia di una goccia e otteniamo l’energia disponibile, considerando tutte le gocce prese durante il cammino:

\[ E = \left( \rho D \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) \frac{1}{2} m v_T^2 = \frac{1}{2} \left( \rho D \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) m \left( v^2 + u^2 \right) \]

Questa è l'energia contenuta in tutte le gocce d'acqua o chicchi di grandine (hanno valori di \(\rho\), \(m\) e \(u\) diversi)

"Sì, ma questo non è proprio il danno: ogni chicco ha una certa probabilità di rompere il vetro" osserva Cloe.

Sì, ma possiamo supporre che più aumenta la velocità e più aumenta il numero di gocce, più la probabilità di rottura aumenta: noi uniamo le due cose, dicendo che se aumenta l’energia totale, allora aumenta anche la probabilità.

"Uhm, può darsi" dice Cloe, chiudendo gli occhi.

D’altra parte, guarda la dipendenza dalla nostra velocità: il numero di gocce diminuisce con la velocità, ma l’energia aumenta: c'è un \(v^2\) al numeratore. Il che torna: il chicco ci fa male soprattutto quando corriamo.

Cloe scuote un orecchio, ad indicare una cosa ovvia.

I grafici

Comunque, proviamo a fare il grafico dell'energia in funzione della velocità \(v\); raccogliendo tutto il resto all'interno di costanti, l'espressione diventa, più semplicemente:

\[ E = k \left( \frac{a}{v} + bv^2 + cv + d \right) \]

dove le costanti avranno valori che vedremo. L'importante è l'andamento generale:

Guarda: ho inserito dati fittizi per le costanti (basta che restino positive, per come sono state definite) e il grafico presenta un minimo! L'energia / danno è minima per un certo valore della velocità, proprio come mi aspettavo! Questo significa anche che il modello che ho messo su non è troppo diverso da una descrizione della realtà!

"Miaooo... E quanto vale questa velocità?"

Beh, ora dobbiamo fare i calcoli... Potremmo sostituire a a, b, c, d i valori approssimati, tracciare il grafico ed estrapolare il valore della velocità, questo possono farlo tutti...

"Io di sicuro no: le calcolatrici hanno i tasti troppo piccoli, a meno che non abbiano il riconoscimento vocale..."

Tanto i valori ci servono comunque; proviamo a calcolarli, con tutte le approssimazioni possibili. Arriveremo a qualcosa di molto approssimato, ma che ci può dare un’idea. Se ti fidi dei miei calcoli, andiamo direttamente ai numeri...

"Vai, vai..."

Risultati

Allora, supponiamo che il riparo sia a una distanza di 10 m, la massa di un chicco di grandine da 5 mm sia attorno ai 60 mg e che abbiamo circa 10 chicchi per metro cubo (per la pioggia sarebbe più alto) - stiamo facendo un bel po' di supposizioni, eh, ma ci interessa l'ordine di grandezza.

\[ k = \frac{1}{2} m \rho D \sim 3\, \text{kg/m}^2 \]

La velocità di caduta dei chicchi può essere attorno ai 10 m/s e la larghezza dell’auto su 1,5 m:

\[ a = u^3 L^2 \sim 2,3 \cdot 10^3 \, \text{m}^5 \text{s}^{-3} \]

Anche l'altezza dell'auto è attorno a 1,5 m (anche se non è tutta di cristallo, però i chicchi fanno male anche alla carrozzeria):

\[ b = Lh \sim 2.3\, \text{m}^2 \,, \quad c = uL^2 \sim 23 \, \text{m}^3 /\text{s}\,, \quad d = u^2 Lh \sim 225\, \text{m}^4 / \text{s}^2 \]

Con questi numeri, il grafico diventa:

Il valore approssimato della velocità che rende minima l’energia totale è sui 6-7 m/s, tra i 20-25 km/h.

"Miaooo, non c’è problema, ce la faccio senza nemmeno pensarci."

In effetti sui 10 metri di distanza dal riparo sei velocissima. Però i dati si riferiscono a un’auto, non sei alta e larga un metro e mezzo! Nel tuo caso direi che \(L\) e \(h\) sono attorno a 30 cm: fammi aggiornare i dati in Desmos... Mah, non sembra cambiare nulla: la velocità cercata è sempre attorno ai 6-7 m/s; ma in compenso l’energia scende moltissimo:

C’è una cosa da notare: la distanza dal riparo si trova solo nella costante \(k\) : è semplice vedere che più è grande la distanza da coprire, maggiore è il possibile danno.

"Sai che scoperta..."

Ma significa che il nostro modello non è così inventato, visto che ci dà un risultato atteso. Però (e questo è proprio interessante) essendo un fattore che moltiplica tutto, se aumentiamo la distanza da coprire, tutta la curva si dilata, ma il minimo resta nella stessa posizione! Cioè, la velocità del minimo danno è sempre la stessa! Se invece di 10 metri, dovessi percorrerne 100, aumenta la possibilità di danno, che però resta minima per la stessa velocità! Se vai più veloce o più lento, aumenti il danno!

"In effetti è vero - fa Cloe, aprendo entrambi gli occhi - anche se nel mio caso, la seconda figura, il danno cresce più lentamente se accelero rispetto a se rallentassi."

La curva dice questo, ma non mi sbilancerei: le supposizioni fatte sono tante; nel caso dell’auto la curva è quasi simmetrica rispetto al minimo. E poi ricorda che abbiamo lavorato sull’energia totale, che è una grossa approssimazione della probabilità di danno, che dovrebbe essere una distribuzione statistica: certo, se aumenta l’energia di ogni chicco, aumenterà anche tale probabilità, ma il problema diventa complesso. Sai, mi viene voglia di vedere da cosa dipende il minimo... però, anche se la derivata è semplice, poi ci troviamo un’equazione di terzo grado per trovare il punto di minimo in modo generale... non è il caso.

"Bene - fa Cloe - non avevo intenzione di starti a guardare mentre usi metodi numerici per risolverla."

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