Conviene correre quando piove?

Qualche mese fa, quando la temperatura era normale e confortevole, avevo notato Cloe (la gatta che divide l'appartamento con S. e me) che, appena cominciava a piovere, scattava improvvisamente a correre all'aperto. Poi dopo un po' tornava, si riposava un poco (secondo il metro dei gatti, diciamo una mezza giornata) e ritornava sotto l'acqua, questa volta quasi passeggiando.

Cloe è molto gelosa dei suoi esperimenti, per cui non avevo indagato. Fino all'altra sera, quando le sue fusa mi hanno fatto capire che stava ragionando su qualcosa di importante.

"Insomma - dice - devo risolvere questa cosa. Me l'hanno chiesta e devo rispondere". Sempre molto responsabile sugli impegni presi. La guardo con aria interrogativa.

"Ma sì, dai: quando piove, conviene mettersi a correre oppure no? È un periodo che non piove più e ho dovuto sospendere le prove". Eccolo! Finalmente è venuto fuori il problema!

Dipende se hai l'ombrello, rispondo ridendo.

"Hai mai visto un gatto con un attrezzo così conservatore come un ombrello?"

Ok, ok. Riassumi il tuo ragionamento.

"Se cammino lentamente o sto ferma, mi prendo in testa l’acqua che cade in questo punto; ma se corro, mi prendo anche l'acqua degli altri punti e magari sul naso. O così ho visto in un filmato, ma non so se era umoristico o scientifico".

Ah, ah, ah! Era certamente umoristico!

"Allora smettila di prendermi in giro - ringhia lei - e comincia a spiegare. E non considerare il vento, che vince sempre, più forte è, peggio è".

Bene, allora supponiamo una pioggia senza vento, che quindi scende verticalmente, perpendicolare al suolo e supponiamo di essere fermi allo scoperto.

"Sì e sappiamo anche che le gocce ci arrivano a velocità costante - sta enumerando, come avesse già affrontato e superato queste cose - e supponiamo che in media siano tutte uguali, in modo da avere la stessa velocità limite".

Approssimiamo chi corre con un parallelepipedo a base quadrata di lato \(L\) e altezza \(h\) e poniamolo sotto la pioggia, fermo. Allora viene bagnato solo sulla faccia superiore.

"Fin qui ci ero arrivata anch'io: anzi, supponendo che la pioggia che cade abbia una certa densità \(\rho\), numero di gocce in un metro cubo, allora quanta acqua si becca in un tempo \(\Delta t\)?”

Seguo il suo pensiero: in un tempo \(\Delta t\) si prende tutta l’acqua che sta nel volume di base \(L^2\) e altezza \(u \Delta t\), dove \(u\) è la velocità di discesa della pioggia:

\[ N = \rho \, L^2 \, u \Delta t \]

"E questo mi torna - fa lei allungandosi sul divano - perché una goccia più in alto di \(u\Delta t\) non fa in tempo ad arrivare sulla superficie. Ora vediamo quando si muove".

Ok, per trattare meglio la situazione consideriamo un riferimento in moto alla stessa velocità dell’oggetto (quindi l’oggetto è fermo); in questo sistema la pioggia non solo cade (velocità \(\vec{u}\) ) ma anche si muove verso l’oggetto (velocità \(\vec{v}\) ), presentandosi quindi alla persona come se avesse una velocità somma delle due (la persona si muove verso sinistra, quindi in questo riferimento la pioggia prende una velocità verso destra):

Quindi la pioggia cade con un angolo \(\alpha\) rispetto alla verticale, che possiamo anche calcolare:

\[ \tan \alpha = \frac{v}{u} \]

"Miaoooo! Ecco qui! L’angolo non mi interessa, ma se la pioggia vien giù di sbieco, allora il cubo si bagna anche davanti!", Cloe appoggia le zampe sul bracciolo del divano, molto interessata.

Certo! Proviamo a disegnare i volumi d’acqua che arrivano nel tempo \(\Delta t\) sia sopra che davanti. Per la parte superiore, il volume non cambia: infatti la forma si inclina solamente: per una parte di pioggia che non viene presa (quella verso la parte posteriore), c’è quella davanti: l’altezza del prisma ottenuto è sempre \(u\Delta t\); allora il numero di gocce che colpiscono la superficie superiore è sempre

\[ N_1 = \rho \, L^2 \, u \Delta t \]

Per la parte anteriore, il volume in cui sta l’acqua che colpirà la superficie è sempre un prisma dove la base è \(Lh\) e l’altezza è \(v \Delta t\), per cui il numero di gocce è

\[ N_2 = \rho \, Lh \, v \Delta t \]

e alla fine la persona che corre si becca un numero totale di gocce pari a

\[ N = N_1 + N_2 = \rho \Delta t (u L^2 + v Lh) \]

e ho lasciato \(L\) all’interno della parentesi per farti notare che il fattore che conta è il prodotto tra superficie e velocità perpendicolare alla superficie.

"Hai ragione - dice pensosa Cloe - potremmo persino chiamarlo flusso, che ne dici?"

Giusto! E la quantità d’acqua è minima quando \(v=0\), cioè la persona sta ferma…

"Ma... allora, risulterebbe che bisogna stare fermi per bagnarsi meno? Mi sembra strano..."

Indubbiamente il flusso è minimo in quel caso, però non dimenticare che davanti c’è un \(\Delta t\): se stai ferma molto tempo, ti becchi molta acqua!

"Va bene, ma se corro ho un termine in più, anzi, più corro veloce, più è grande \(v\), più sono le gocce che mi prendo in faccia! Ma allora perché se corro mi pare di bagnarmi meno?"

Beh, perché siamo nella realtà e non nella teoria! Supponiamo di stare allo scoperto per molto tempo: sarebbe come fare il limite per \(\Delta t \to \infty \): il numero di gocce diventa infinito, sia stando fermi che muovendosi. Se invece siamo nella realtà, restando ferma ti prendi infinite gocce, ma se ti muovi prima o poi arrivi ad un riparo e la pioggia non la prendi più!

"Ah, ecco il trucco! - fa ondeggiare la coda - Quindi, se mi trovo a una distanza \(D\) da un riparo, il tempo che ci metto ad arrivarci è

\[ \Delta t = \frac{D}{v} \]

e mi prendo le gocce date da

\[ N' = \rho \frac{D}{v} (u L^2 + v Lh) \]

mentre se sto ferma l’intervallo di tempo diventa infinito e con lui le gocce!"

Proprio così! Inoltre, puoi vedere l’ultima relazione come

\[ N' = \rho D \left( \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) \]

dove il primo termine, relativo all’acqua presa sulla faccia superiore, dipende dal rapporto tra le velocità della pioggia e del movimento e amplifica l’area \(L^2\); mentre il secondo termine, l'acqua presa sulla faccia anteriore, è direttamente proporzionale alla superficie \(Lh\) mostrata all’acqua.

"Ok, e dato che \(u > v\), c’è sempre un’amplificazione, che si riduce correndo più forte! E considerando che sono più lunga che alta, il termine più importante è certamente il primo. Quindi, se piove devo correre il più velocemente possibile al riparo... che poi è quello che faccio sempre!".

Nel caso di un’auto, \(u < v\) e quindi la lunghezza conta meno...

"Sì, ma io non guido... e comunque se fossi in macchina non cercherei un riparo... Tornando alla conclusione di prima, funziona anche con la grandine: mi beccherei qualche chicco in più sul naso, ma poi arriverei al riparo e sarei a posto".

Sì, vero; invece in auto bisogna fare attenzione alla velocità: se \(v\) diventa troppo alta, i vetri potrebbero non sopportare l’impulso dei chicchi. La velocità totale della pioggia e dei chicchi di grandine è

\[ v_{T} = \sqrt{u^2 + v^2} \]

da cui l'impulso \(mv_{T}\) che potrebbe rompere il vetro.

"Diciamo che se incontri la grandine, che tu sia in macchina o in giro, è sempre bene trovare un riparo... - comincia ad arrotolarsi sul divano - Bene, ora che abbiamo dimostrato che quel che faccio di solito è corretto e dimostrabile, direi che posso riposarmi un pochino".

Io avrei ancora una curiosità, visto che guido un’auto, ma la passo anch’io ad un’altra volta...

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