Come bagnarsi di meno quando piove

Qualche tempo fa, ho discusso con Cloe sulla dimostrazione che serva correre quando piove (a questo link). Nonostante Cloe mi dica che tale dimostrazione sia sufficiente, a me è rimasta una domanda. Che proviene da questo ragionamento:

se vado veloce, prendo più pioggia sulla parte anteriore, ma impiego meno tempo a raggiungere il riparo; se invece vado lentamente, prendo meno pioggia davanti ma ci metto di più.

Esiste una velocità che minimizza l’acqua presa, fissata una distanza dal riparo?

Riassunto

Dalla scorsa volta, Cloe e io abbiamo trovato che la quantità d’acqua è

\[ N' = \rho D \left( \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) \]

dove \(D\) è la distanza dal riparo, \(u\) la velocità della pioggia e \(v\) la velocità a cui mi sto muovendo.

Vista così, la dipendenza è 1/\(v\), quindi più sono veloce, minore è la quantità d'acqua che mi becco. Se poi fossi velocissimo, potrei persino dire che non mi bagno proprio!

Sul tavolo a fianco del computer, Cloe apre un occhio:

"Che è quello che abbiamo detto l'altra volta"

Però non demordo: va bene, più sono veloce, meno pioggia mi prendo. Ma se invece di pioggia si trattasse di grandine? Più vado veloce e più la velocità della grandine aumenta:

\[ v_T = \sqrt{v^2 + u^2} \]

Se sono a piedi, potrei rischiare di farmi male e se sono in auto potrei danneggiare il cristallo.

"Mah, io correrei anche con la grandine - dice Cloe - e poi dovresti sapere a che velocità il cristallo si può danneggiare."

Sono d’accordo, mi mancano molti dati; però mi basterebbe per ora sapere che esiste una velocità che minimizza il rischio, tra molti urti leggeri (quando vado piano) e pochi urti importanti (quando vado veloce).

"Quindi devi costruirti un modello che approssimi il possibile danno… ne hai proprio voglia?" e accompagna questa frase con uno sbadiglio.

Il modello

Visto che la cosa mi interessa, vado avanti lo stesso, gatti o non gatti.

Le grandezze papabili sono due: quantità di moto e energia cinetica. L’impulso mi porterebbe a lavorare sulla forza scambiata con il cristallo dell’auto… Ma forse è meglio passare dall’energia (è anche comodo, non essendoci vettori ma solo moduli): in questo caso la velocità compare addirittura al quadrato! Bene, aggiudicato: il possibile danno fatto da un chicco di grandine dipende dall’espressione

\[ K = \frac{1}{2} mv_T^2 = \frac{1}{2} m \sqrt{u^2 + v^2} \]

Il danno totale dipende da quante gocce arrivano sull’auto, ma per questo abbiamo già il numero di gocce che ci prendiamo: basta moltiplicare per l’energia di una goccia e otteniamo l’energia disponibile, considerando tutte le gocce prese durante il cammino:

\[ E = \left( \rho D \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) \frac{1}{2} m v_T^2 = \frac{1}{2} \left( \rho D \frac{u}{v} L^2 + Lh \right) m \left( v^2 + u^2 \right) \]

Questa è l'energia contenuta in tutte le gocce d'acqua o chicchi di grandine (hanno valori di \(\rho\), \(m\) e \(u\) diversi)

"Sì, ma questo non è proprio il danno: ogni chicco ha una certa probabilità di rompere il vetro" osserva Cloe.

Sì, ma possiamo supporre che più aumenta la velocità e più aumenta il numero di gocce, più la probabilità di rottura aumenta: noi uniamo le due cose, dicendo che se aumenta l’energia totale, allora aumenta anche la probabilità.

"Uhm, può darsi" dice Cloe, chiudendo gli occhi.

D’altra parte, guarda la dipendenza dalla nostra velocità: il numero di gocce diminuisce con la velocità, ma l’energia aumenta: c'è un \(v^2\) al numeratore. Il che torna: il chicco ci fa male soprattutto quando corriamo.

Cloe scuote un orecchio, ad indicare una cosa ovvia.

I grafici

Comunque, proviamo a fare il grafico dell'energia in funzione della velocità \(v\); raccogliendo tutto il resto all'interno di costanti, l'espressione diventa, più semplicemente:

\[ E = k \left( \frac{a}{v} + bv^2 + cv + d \right) \]

dove le costanti avranno valori che vedremo. L'importante è l'andamento generale:

Guarda: ho inserito dati fittizi per le costanti (basta che restino positive, per come sono state definite) e il grafico presenta un minimo! L'energia / danno è minima per un certo valore della velocità, proprio come mi aspettavo! Questo significa anche che il modello che ho messo su non è troppo diverso da una descrizione della realtà!

"Miaooo... E quanto vale questa velocità?"

Beh, ora dobbiamo fare i calcoli... Potremmo sostituire a a, b, c, d i valori approssimati, tracciare il grafico ed estrapolare il valore della velocità, questo possono farlo tutti...

"Io di sicuro no: le calcolatrici hanno i tasti troppo piccoli, a meno che non abbiano il riconoscimento vocale..."

Tanto i valori ci servono comunque; proviamo a calcolarli, con tutte le approssimazioni possibili. Arriveremo a qualcosa di molto approssimato, ma che ci può dare un’idea. Se ti fidi dei miei calcoli, andiamo direttamente ai numeri...

"Vai, vai..."

Risultati

Allora, supponiamo che il riparo sia a una distanza di 10 m, la massa di un chicco di grandine da 5 mm sia attorno ai 60 mg e che abbiamo circa 10 chicchi per metro cubo (per la pioggia sarebbe più alto) - stiamo facendo un bel po' di supposizioni, eh, ma ci interessa l'ordine di grandezza.

\[ k = \frac{1}{2} m \rho D \sim 3\, \text{kg/m}^2 \]

La velocità di caduta dei chicchi può essere attorno ai 10 m/s e la larghezza dell’auto su 1,5 m:

\[ a = u^3 L^2 \sim 2,3 \cdot 10^3 \, \text{m}^5 \text{s}^{-3} \]

Anche l'altezza dell'auto è attorno a 1,5 m (anche se non è tutta di cristallo, però i chicchi fanno male anche alla carrozzeria):

\[ b = Lh \sim 2.3\, \text{m}^2 \,, \quad c = uL^2 \sim 23 \, \text{m}^3 /\text{s}\,, \quad d = u^2 Lh \sim 225\, \text{m}^4 / \text{s}^2 \]

Con questi numeri, il grafico diventa:

Il valore approssimato della velocità che rende minima l’energia totale è sui 6-7 m/s, tra i 20-25 km/h.

"Miaooo, non c’è problema, ce la faccio senza nemmeno pensarci."

In effetti sui 10 metri di distanza dal riparo sei velocissima. Però i dati si riferiscono a un’auto, non sei alta e larga un metro e mezzo! Nel tuo caso direi che \(L\) e \(h\) sono attorno a 30 cm: fammi aggiornare i dati in Desmos... Mah, non sembra cambiare nulla: la velocità cercata è sempre attorno ai 6-7 m/s; ma in compenso l’energia scende moltissimo:

C’è una cosa da notare: la distanza dal riparo si trova solo nella costante \(k\) : è semplice vedere che più è grande la distanza da coprire, maggiore è il possibile danno.

"Sai che scoperta..."

Ma significa che il nostro modello non è così inventato, visto che ci dà un risultato atteso. Però (e questo è proprio interessante) essendo un fattore che moltiplica tutto, se aumentiamo la distanza da coprire, tutta la curva si dilata, ma il minimo resta nella stessa posizione! Cioè, la velocità del minimo danno è sempre la stessa! Se invece di 10 metri, dovessi percorrerne 100, aumenta la possibilità di danno, che però resta minima per la stessa velocità! Se vai più veloce o più lento, aumenti il danno!

"In effetti è vero - fa Cloe, aprendo entrambi gli occhi - anche se nel mio caso, la seconda figura, il danno cresce più lentamente se accelero rispetto a se rallentassi."

La curva dice questo, ma non mi sbilancerei: le supposizioni fatte sono tante; nel caso dell’auto la curva è quasi simmetrica rispetto al minimo. E poi ricorda che abbiamo lavorato sull’energia totale, che è una grossa approssimazione della probabilità di danno, che dovrebbe essere una distribuzione statistica: certo, se aumenta l’energia di ogni chicco, aumenterà anche tale probabilità, ma il problema diventa complesso. Sai, mi viene voglia di vedere da cosa dipende il minimo... però, anche se la derivata è semplice, poi ci troviamo un’equazione di terzo grado per trovare il punto di minimo in modo generale... non è il caso.

"Bene - fa Cloe - non avevo intenzione di starti a guardare mentre usi metodi numerici per risolverla."

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Altezza dalla velocità, in bici

Quale migliore occasione per ragionare di Fisica che trovarsi lungo una dolce montagna, su una bici che scivola senza pedalare lungo una discesa? A dir la verità, mi è capitato di guardare display della bici subito prima di scendere e appena arrivato in fondo, non mi aspettavo una discesa così ripida: l’idea di trasformarlo in un esperimento è venuta in seguito (mi sono fermato per segnarmi i dati sul telefono… e poi l’ho elaborati qualche mese dopo!).

La domanda pretesto è stata: “Accidenti, ma quanto era alta questa discesa?”. Gli unici dati a disposizione sono:

• la velocità \(v_1\) all'inizio della discesa
• quella finale \(v_2\) in fondo

e quello che voglio conoscere è l'altezza da cui sono sceso. Con solo questi dati mi debbo affidare a uno dei principi più importanti della Fisica: la…

Conservazione dell'energia

Il sistema composto da me e dalla bici, all’inizio ha una parte di energia dovuta al fatto che si sta muovendo (energia cinetica \(K_1\)) e una parte dovuta per il fatto che si trova lì, in alto rispetto al fondo della discesa (energia potenziale \(U_1\)). L'energia meccanica totale del sistema è

\[E = K_1 + U_1\]

Quando arriviamo in fondo alla discesa, non possiamo più scendere oltre, per cui non abbiamo più energia potenziale (\(U_2 = 0\)), ma abbiamo ancora energia cinetica \(K_2\). Se l'energia totale deve essere la stessa, posso uguagliare i valori iniziale e finale:

\[K_2 = K_1 + U_1\]

Questa ci dice che l’energia potenziale è scomparsa, trasformandosi in energia cinetica. Ricordando le formule dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale:

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 + mgh = \frac{1}{2} mv_2^2 \]

dove \(g\) è l’accelerazione di gravità, conosciuta e m la massa, quantità sconosciuta, che però compare in tutti i termini, quindi può essere semplificata (Galileo aveva ragione a dire che la massa di un corpo che cade non conta!).
Ora risolvo rispetto ad h ed ottengo:

\[ h = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} \]

Osserviamo la formula: l’altezza così ottenuta non dipende proprio dalla differenza delle velocità, ma dalla differenza dei loro quadrati: questo amplifica l’effetto! (Fare 4-2 è ben diverso da 16-4...)
Notiamo la dipendeza da \(g\) al denominatore: se fossimo sulla luna, con \(g\) minore, otterremmo un'altezza maggiore.
Bene, ora porto i dati nell'unità di misura necessaria (mantenendo le stesse cifre significative) e sostituisco nella formula:

\[ \begin{cases} v_1 = 18,2\, \text{km/h} = 5,06\, \text{m/s} \\ v_2 = 32,6\, \text{km/h} = 9,06\, \text{m/s} \end{cases} \]

ed ottengo il valore \(h = 2,88 \) m. Potrebbe sembrare poco, ma psicologicamente 3 metri in orizzontale sembrano meno di 3 metri in verticale (che poi corrisponde ad una rampa di scale...). Il problema semplice termina qui, con quello che cercavo.

E l'attrito?

In effetti ho fatto una grande semplificazione: mentre scendevo, sentivo aumentare il vento sul viso, quindi c’era attrito con l’aria. L’attrito è una forza dissipativa: una parte dell’energia totale viene trasformata in calore (non si sente perché, appena generato, viene portato via dall’aria stessa, ma il viso, la bici, ecc… si scalderebbero).
Quindi l’energia cinetica finale misurata è minore di quella che avrei avuto scendendo da quell’altezza se non ci fosse attrito. Allora la velocità senza attrito avrebbe dovuto essere più grande, di conseguenza anche l’altezza. La conclusione è che l’altezza vera è maggiore di 2,88 metri!
Ma essendo una forza che non conserva l’energia, come posso usare proprio la conservazione dell’energia?
Introducendo un termine che tiene conto dell’energia dissipata! Meglio: devo sottrarre qualcosa all’energia totale. Ma quanto?

In generale, il calcolo preciso è un po’ complesso, ma vediamo come posso ottenerne una valutazione senza perdermi nella matematica. Devo supporre che non ci fosse vento (e mi pare fosse proprio così). La velocità è abbastanza alta per creare vortici d’aria (e si sentono!), per cui devo usare la dipendenza quadratica dalla velocità: la forza d’attrito è

\[F_\text{aria} = k v^2\]

ed il coefficiente \(k\) ha una forma del tipo:

\[k = \frac{1}{2} C_a \rho A\]

dove

• \(A\) è l'area (corpo + bici) che fa resistenza all'aria;
• \(\rho\) = 1,2 kg/m³ è la densità dell'aria;
• \(C_a\) è un coefficiente aerodinamico adimensionale che dipende dal corpo

Da alcuni siti specialistici sul ciclismo, trovo che un valore tipico per una postura eretta del ciclista è attorno a 0,45-0,55 kg/m. In effetti, l’area del corpo è attorno a 0,8-1,0 m²; il coefficiente aerodinamico è 0,5 per una sfera liscia: non essendo rotondo e nemmeno liscio, posso pensare a 0,8-0,9, introducendo la struttura della bici. Se uso questi valori, ottengo 0,55 kg/m, in linea con quanto trovato in rete. Decido di usarne uno intermedio: 0,50 kg/m.

Per trovare l'energia dissipata, devo calcolare il lavoro di questa forza, che ha sempre verso opposto alla velocità, quindi lavoro negativo:

\[L_a = \vec{F} \cdot \vec{s} = - Fs = kv^2 s\]

dove s è lo spostamento durante la discesa. Però la velocità cambia al variare della posizione (è un moto accelerato!):

\[v = v(s)\]

Devo allora sommare tutti i piccoli lavori per ogni tratto di percorso in cui possa considerare costante la velocità; in pratica, sto facendo il solito discorso per l’introduzione di un integrale:

\[L = -k \int_0^D v^2(s)\; d\! s\]

dove \(d\! s\) è la lunghezza infinitesima di ogni spostamento e \(D\) è la lunghezza totale del tratto percorso. Peccato che la funzione \(v(s)\) non sia nota: è un moto accelerato con accelerazione non costante; dovremmo risolvere un'equazione differenziale nella velocità. Proviamo invece a proseguire con meno complicazioni.
Se la velocità fosse costante, potremmo portarla fuori dall’integrale, che diventerebbe semplice (avremmo la lunghezza \(D\)). Un buon valore costante è la media; però la velocità compare al quadrato, per cui inseriamo la media dei quadrati:

\[v_m^2 \sim \frac{v_1^2 + v_2^2}{2} \simeq 53,8 \; \text{m}^2 / \text{s}^2\]

Così il lavoro diventa

\[L = -k v_m^2\int_0^D \; d\! s = -k v_m^2 D\]

Però non ho misurato la lunghezza \(D\) della discesa; a occhio, ricordo che poteva essere attorno a 12-15 metri. Per controllare che sia un numero coerente, provo a calcolare l'inclinazione corrispondente:

\[ D \sin \alpha = h \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = \frac{h}{D} \simeq 0.22 \]

e la calcolatrice mi dice che siamo attorno ai 12°, che corrisponde ad una pendenza di di circa 20%. È un po' grande, ma ricordo che la disceca era ripida, anzi, è stato questo a spingermi a voler calcolare l'altezza! Quindi la supposizione è coerente: inserisco i dati e calcolo l'energia dissipata:

\[ L = - (0,50\, \text{kg/m}) (53,8\, \text{m}^2 / \text{s}^2) (15\, m) \simeq -400\, \text{J} \]

Questa è l’energia che deve essere tolta dall’energia totale; l’equazione di prima diventa (\(h'\) è la nuova altezza)

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 + mgh' + L = \frac{1}{2} mv_2^2 \]

Questa volta non posso semplificare la massa: suppongo che tra il mio peso e quello della bici elettrica, la massa sia attorno ai 100 kg; risolvendo rispetto ad \(h'\) si ha:

\[ h' = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} - \frac{L}{mg} = h + \frac{|L|}{mg} \]

Ho esplicitato che il lavoro è negativo, per mostrare che si tratta di una aggiunta; la differenza è data dal termine:

\[ \frac{|L|}{mg} \simeq 0,41\, \text{m} \]

Quindi, con l'attrito, la stima passa da 2,9 a 3,3 metri; una correzione del 14%.

Controllo

Ora si tratta di vedere se le approssimazioni fatte hanno senso. Se avessimo voluto essere più precisi, avremmo dovuto risolvere l'equazione differenziale ottenuta dalla legge fondamentale \(F = ma\):

\[ k v^2 - mg \sin\alpha = m \frac{dv}{dt} \]

che fornisce una funzione \(v(s)\) del tipo riportata in figura (ho usato i dati dell'esperimento - in orizzontale la posizione della bici lungo la discesa, in verticale la velocità).
Notiamo due cose:

• La rapidità di crescita della velocità (cioè l'accelerazione) diminuisce con l'aumento della distanza tendendo ad un valore limite, come atteso;
• per brevi tratti, in particolare entro i 15 metri iniziali, la velocità cresce in modo praticamente costante; ha quindi avuto senso considerare la media.

L'importanza dell’effetto cambia se consideriamo un range di velocità diverse, per esempio per un’auto, dove l’amplificazione dovuta al quadrato delle velocità si fa sentire. Se poi il coefficiente aerodinamico diventa grande (per un paracadutista, per esempio), la velocità limite viene raggiunta più rapidamente e le approssimazioni fatte non valgono più.

Per completare il controllo e confermare il grafico qui sopra, posso trovare la velocità limite: viene raggiunta quando la componente della forza peso lungo la discesa uguaglia la forza d'attrito:

\[ mg \sin\alpha = k v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{mg}{k}\sin\alpha} \simeq 20\, \text{m/s} \]

Nel nostro caso siamo ben distanti da questo limite e le approssimazioni fatte continuano ad avere senso.

Riassumendo

Ho prima applicato la conservazione dell’energia al compito semplice di trovare l’altezza da cui sono sceso. Poi ho provato a raffinare la misura, introducendo la resistenza dell’aria. Mancandomi dei dati, ho provato a dare una loro valutazione, facendo attenzione di ottenere dati sensati e controllando che non andassero contro le approssimazioni fatte. In questo modo, sono arrivato ad un risultato approssimato ma coerente.
I fisici sono spesso rimproverati di vivere in un mondo fatato, senza attrito; ho appena mostrato che la Fisica ha i mezzi per trattare bene l’attrito: se però lo si introduce già all’inizio:

• si rischia di perdere di vista i concetti fondamentali, senza vedere le leggi più grandi che governano la realtà;
• a parte casi particolari, in cui si cerca precisione, il trascurare l’attrito non crea grandi differenze.

Auguro a tutti delle belle passeggiate in bici: alla prima discesa, sapete cosa fare!

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L’energia del movimento

Qualche sera fa, Cloe (per chi non mi ha finora seguito - male - si tratta della gattina che condivide il suo appartamento con me e S.) salta sulla scrivania, si siede elegantemente arrotolando la coda attorno alle zampe e mi osserva, mentre tento di ottenere da ChatGPT il codice di una funzione ricorsiva in javascript. Non mi piace essere osservato mentre provo a risolvere un problema, per cui dopo qualche minuto la guardo con aria interrogativa.

“Miao - fa lei - stai facendo nulla di importante?”

Definisci importante, rispondo; comunque dimmi cosa ti turba.

“In realtà, nulla, perché non mi impedisce di gettare giù dalla scrivania questa penna e poi guardare dove è finita… però vorrei discutere di una cosa…”

Dimmi pure, tanto ho capito che se voglio risolvere questo problema javascript, devo smettere di pensarci…

“Bene - sposta la penna sopra un foglio bianco - l’altra sera hai lasciato aperto un libro, dove era scritto che l’energia è una delle grandezze fisiche più importanti. Ho sfogliato qualche pagina (forse qualcuna l’ho anche graffiata, ma è leggibile). Il mio dubbio è: alla fine, cosa è l’energia?”.

Accidenti, l’argomento è molto interessante! Se vuoi essere rigorosa, l’energia rappresenta la possibilità che ha un corpo di compiere lavoro.

“Va bene - fa Cloe sbuffando e guardando il soffitto - questo lo sapevo anche prima di leggere quel libro. Cambio la domanda: cosa è il lavoro? E non mi rispondere che è il prodotto scalare tra la forza agente sul corpo e lo spostamento del corpo (\( L = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r}\)), anche questo lo so già. E anche che il lavoro non è la fatica che si fa”.

Beh, intanto cominciamo a osservare le dimensioni: forza per lunghezza, ma anche massa per velocità al quadrato, anche chiamato joule.

“Ricordati che si pronuncia ‘dʒuːl’ (alla francese): l’Oxford Dictionary sostiene che in quel periodo la famiglia di Sir Prescott Joule (che tra l’altro era un birraio) si faceva chiamare in quel modo”.

Hai ragione, colpa dell’abitudine: i miei prof lo chiamavano all’inglese (hai graffiato anche il dizionario?)

“Fa niente, basta capirsi (e no, non ho graffiato il dizionario). Tornando al problema, se con la zampa spingo la penna, faccio una forza e la penna si sposta di un centimetro: ho fatto del lavoro, giusto?”.

Sì, hai fatto del lavoro sulla penna.

“E cosa è successo alla penna, che riceve il lavoro?”

Sì è spostata e, se non fosse per l’attrito, starebbe viaggiando sulla scrivania, fino a cadere, per la tua gioia.

“Uhm, quindi il mio lavoro è finito in attrito e la penna si è fermata, rimasta senza energia e nessuno se ne accorge, perché l’eventuale calore generato è troppo piccolo e la scrivania ha una grande capacità termica, tanto da non cambiare apprezzabilmente la sua temperatura. Ma torniamo all’inizio, trascuriamo l’attrito, come fate spesso voi fisici: cosa succede alla penna?”

Come ti ho detto: senza attrito, continua a muoversi e, dato che non la stai più spingendo, la sua velocità è costante.

“Ma è cambiato qualcosa da quando ha energia? Ha lo stesso colore? La stessa lunghezza? È più calda? Più fragile?”

Assolutamente no, è la stessa penna di prima. Ha energia cinetica, cioè dovuta al movimento, ma non è cambiata.

“Sì, dal greco kinésis, movimento, a quel che so. Ma mettiamola al contrario: se non cambia niente, come faccio a sapere che adesso ha energia?”

Misurando la sua velocità!

Eh no! Il cane si morde la coda! (che stupido, detto fra noi): se si muove ha energia, ma se ha energia vuol dire che si muove! Ma nella penna non è cambiato nulla! Se tu prendessi questa penna e la sfregassi con uno straccio, si scalderebbe e magari si caricherebbe elettrostaticamente, effetti che mi dicono che gli hai passato energia! Ma qui?”

Ma è proprio il fatto che ha velocità che mi dice cha ha energia cinetica. Ho dimenticato di dire che, nella discussione, Cloe si sta rotolando sulla scrivania.

“Se corro a fianco della penna, alla sua velocità, vedrei la stessa cosa di quando è ferma”

Di sicuro, ma in quel caso la penna è ferma rispetto a te (interessante questa cosa), per cui mi sembra comunque ovvio.

“Non complichiamo - si rimette sulle zampe e trotterella all’altro lato della scrivania - il fatto è che la presenza dell’energia non modifica la penna in alcun modo misurabile”

No, l’unica differenza è che ora può fare lavoro: se urta una pallina, la mette in moto.

“Ecco il punto! Non ci sono cambiamenti geometrici o comunque visibili: l’energia è una cosa che vi siete inventati per giustificare matematicamente quello che si vede negli esperimenti!”

In effetti non hai torto! Come per ogni descrizione matematica della realtà, negli esperimenti i fatti avvengono come se un oggetto in movimento avesse in sé qualcosa che gli permette di compiere lavoro: questo qualcosa è chiamato energia!

“Perfetto, ora mi è chiaro! Facendo un confronto, se mordo una matita e la accorcio, il risultato è che quando misuro la sua lunghezza, la trovo più corta. Nel caso dell’energia, devo misurare quanto lavoro posso ottenere dalla matita prima che si fermi!”

Beh, non ci avevo pensato: se dovessi misurare l’energia cinetica di un corpo, l’idea sarebbe di farlo interagire con un altro corpo, lo strumento di misura, che possa misurare l’energia iniziale dal passaggio di lavoro. Alla fine la penna sarebbe ferma, quindi la misura è distruttiva, ma ha senso. Per la lunghezza uso un metro, per la massa una bilancia, per l’energia questo misuratore di lavoro.

“E sempre per semplificare, se non c’è attrito tutto il lavoro che faccio sulla penna va ad aumentare la sua energia, giusto? Ma allora è necessario introdurre il lavoro? Non può bastare l’energia? Tanto sono la stessa cosa, con la stessa unità di misura”

In teoria! L’energia può apparire sotto forme diverse e non tutte sarebbero facili da trattare: partendo dal lavoro, che alla fine rappresenta il modo con cui l’energia si trasferisce da un corpo all’altro, possiamo creare modelli matematici con cui trattarle.

“Allora trattiamo l’energia cinetica! Fammi pensare: - si mette ventre a terra, come se dovesse scattare -  se do una zampata alla penna, questo lavoro cambia l’energia cinetica della penna stessa; quindi \( L = \Delta K = K_f \), perché la penna all'inizio è ferma (ho letto che questa relazione viene chiamata teorema dell'energia cinetica, o peggio teorema delle forze vive, come esistessero le forze morte; ma secondo me gli si da troppa importanza: è solo una conseguenza delle definizioni).
Però io so che \(F = ma \); mentre riceve la forza, la penna accelera e questa accelerazione è data dalla relazione del moto accelerato dove non compare il tempo, la cosiddetta formula utile, per cui

\[ ma = m\frac{v_f^2 - v_i^2}{2 \Delta x} = m\frac{v_f^2}{2 \Delta x} \] Se la inserisco al posto della forza e moltiplico per lo spostamento, il lavoro è \[ L = F \Delta x = ma\Delta x = m \frac{v_f^2}{2 \Delta x} \Delta x = \frac{1}{2}mv_f^2 \] Tutto giusto? Mi pare sia proprio la formula matematica dell'energia cinetica"

Proprio così! La formula indica che dipende dalla massa del corpo. Se due corpi hanno stessa energia cinetica, il rapporto tra le due masse è

\[ \frac{m_1}{m_2} = \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2 \]

Vedi che interpretare la variazione di energia cinetica come lavoro fatto sul corpo (oppure ottenuto dal corpo) è vantaggioso?

"Va bene; resto comunque dell’idea che l’energia è un’astrazione che usiamo per spiegare il comportamento della realtà…”

È vero, ma tutta la Fisica non fa altro che immaginarsi leggi e grandezze che spieghino la realtà, studiandosi esperimenti per confermare o meno se tali modelli sono validi. Noi fisici non spieghiamo come è veramente la realtà, perché non è possibile…” ma Cloe comincia a leccarsi una zampa, poi l’altra e a passarsele sul muso, segno che la discussione è arrivata al termine:

“Ora devo assimilare le mie conclusioni: magari la prossima volta parleremo di altre forme di energia. Per ora è sufficiente, devo dedicarmi alla mia pulizia”.

Va beh, nel frattempo ho avuto un’illuminazione: forse ho capito perché il mio javascript non funziona: vediamo…

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