Questa volta la riunione di Cloe è stata convocata sotto un balcone, al riparo dalla pioggia (per chi non lo sapesse, Cloe è la gattina che permette a me e S. di condividere i suoi spazi e la passione per la Fisica).
Non ho avuto indicazioni di argomenti specifici in ballo; solamente, un paio di giorni fa, l’ho vista mentre dormiva su un libro di statistica e sappiamo che i gatti, quando dormono... probabilmente stanno facendo qualcosa di sconosciuto.
I partecipanti stanno arrivando con la solita noncuranza felina: ne riconosco alcuni. Nell'attesa si dedicano alle solite operazioni (leccarsi il pelo, farsi le unghie o dormire), finché un gattone grigio si stira e dice:
"Amici, visto l’inverno di quest’anno, ho chiesto a Cloe di parlarci un po’ della pioggia, che però vada oltre alle solite cose".
"Buona idea! Posso cominciare io? - fa un gattino a strisce rosse - È vero che in alta montagna la pioggia che mi colpisce fa meno male perché le nuvole sono più basse e le gocce percorrono meno spazio, quindi hanno meno velocità?"
"E chi ti ha detto una cosa del genere?" dice un esemplare tigrato, smettendo un attimo di leccarsi una zampa.
Guardo Cloe: sta rotolandosi sulla schiena e sospetto che stia ridendo...
"Potresti spiegarlo e basta, invece di prendermi in giro - dice il gattino rosso - dopo tutto quello che ci hai detto sull’energia cinetica e potenziale... Mi hanno raccontato di paesi di montagna in cui le nuvole sono certamente più basse che al mare".
Cloe si ricompone: "Non ti stavo prendendo in giro, prendevo ispirazione per rispondere". Si ferma un attimo, poi: "Vedi, hai ragione: l’altezza di una nuvola viene sempre misurata rispetto al mare. Per cui se una di loro si trova a 3000 m sul livello del mare, la stessa nuvola in un posto a 2000 m di altitudine, sarà ad un’altezza di 1000 m rispetto al terreno. Da qui il motivo di quello che ti hanno detto...".
Gattino Rosso si volta verso il Tigre, soffiando (mi pare più una pernacchia, a onor del vero).
"Però… - continua Cloe, Rosso gira la testa - chi te l’ha detto ha dimenticato che la pioggia cade attraverso l’aria e quindi subisce l’attrito viscoso. In pratica, la goccia comincia a cadere, cadendo aumenta la sua velocità, ma da questa dipende l’attrito, che aumenta a sua volta; la cosa va avanti fino a quando l'attrito non uguaglia il peso:
"E quando succede? Se ci mette tanto, allora avevo ragione. Giusto per vedere se mi conviene andare in montagna" chiede ostinato Gattino Rosso.
"Per rispondere, dobbiamo costruire un modello matematico. Cominciamo col supporre che:
- la goccia possa essere considerata quasi sferica;
- la sua velocità non sia grande.
Allora l’attrito può essere valutato dalla legge di Stokes:
\[ F_a = 6\pi \eta r v \]dove \(\eta \simeq 1,8 \cdot 10^{-5}\, \text{Pa}\cdot \text{s}\), viscosità dell'aria, \(r\) il raggio della goccia. L’accelerazione di gravità può essere supposta costante su un dislivello di appena 3000 m, quindi anche il peso è costante e l’uguaglianza delle due forze porta a
\[ mg = 6\pi \eta r v \quad \Rightarrow \quad v = \frac{mg}{6\pi \eta r} \]Supponendo il raggio \(r = 1 \cdot 10^{-3} \text{m}\), la sua massa si ottiene dalla densità dell'acqua \(\rho\) e dal suo volume:
\[ m = \rho V = (10^3\, \text{kg/m}^3) \cdot \frac{4}{3}\pi (10^{-3}\,\text{m})^3 \sim \frac{4}{3}\pi (10^{-6}\,\text{kg}) \]Facendo i conti, la velocità limite è attorno ai 120 m/s... Nessuno nota niente?"
"Ovvio - fa una gattina a tre colori - hai appena supposto una velocità piccola..."
"Bravissima! - scodinzola Cloe - La velocità trovata è troppo alta, non coerente con l'approssimazione fatta!"
"Quindi - fa Grigio - come se ne esce? Usiamo la quadratica?"
"Esatto - risponde Cloe - dobbiamo supporre che l’attrito sia dato da
\(A = \pi r^2\) è la superficie che la goccia mostra all'aria, \(\rho = 1,2\, \text{kg/m}^3\) la densità dell'aria, \(C_a = 0,5\) per una sfera. Allora la velocità limite diventa
\[ v = \sqrt{\frac{2mg}{C_a \rho A}} \simeq 6\, \text{m/s} \]Naturalmente il vento, le correnti d’aria, possono modificare questo valore medio".
"Ma per rispondere alla domanda, ci manca ancora qualcosa: quando viene raggiunta questa velocità?" fa notare la gattina tri-colorata.
"Hai ragione. Dobbiamo controllare se lo spazio di caduta è sufficiente, che non è una cosa semplice, perché l’accelerazione non è costante: parte da \(g\) per arrivare a zero; bisogna trovare come varia la velocità in funzione del tempo \(v(t)\); per chi vuole vedere cosa ci dice il modello matematico, possiamo applicare la \(F = ma\) al nostro caso:
La costante \(\tau = v_l / g\) indica la rapidità con cui si avvicina al limite; nel nostro caso \(\tau \sim 0,7\, s\), per cui in 2-4 secondi il limite è raggiunto. Quindi la velocità a livello terra è uguale sia al mare che in montagna!"
"Quando rivedo chi me l’ha detto, gli do’ una zampata che se lo ricorda. Mi ha fatto fare una figuraccia...” conclude Gattino Rosso.
"E invece cosa succede con la grandine? - chiede un gatto bianco con un’orecchia bassa, finora in silenzio - Quella fa male sul serio, una volta mi ha beccato mentre ero in un prato..."
"Non cambia granché: rispetto ad una goccia, il coefficiente \(C_a\) è un pochino più basso, per cui la velocità limite aumenta, ma di poco: se fai i conti, trovi circa 8 m/s; sempre a parte il vento".
"Io - dice il Rosso - ho sentito umani preoccupati per la grandine caduta su una delle loro scatole di latta che chiamano 'auto'...".
"Miaaahhoo! Ma quello è un altro discorso, non dipende dalla differenza di velocità!" miagola Cloe.
"Certo - dice Rosso - è perché la grandine pesa di più e quindi fa più danno"
"Che tonto - interviene Grigio - tutti sanno che il ghiaccio è più leggero dell’acqua"
"Allora ti tiro una pallina di ghiaccio e vediamo se ti piace" dice Rosso in un soffio
"Calma, calma - si intromette Cloe - È vero, il ghiaccio è più leggero dell’acqua, ma qui non è questione di sola massa"
"Miaoo, qdm?" dice Tricolore
"Ma se ti ha detto che non dipende dalla differenza delle velocità" dice Grigio.
"Vero! Dipende sia dalla massa che dalla velocità, cioè dalla quantità di moto, come ha detto lei!". Tricolore sbadiglia, sottolineando come fosse ovvio.
"Ricordate che un gattino che va veloce fa gli stessi danni di un gattone che va piano?"
"Fatemi prendere la rincorsa e vi aggiusto tutti, miaooo!" gorgheggia Rosso.
Cloe si sposta in una zona con della terra bagnata e comincia a disegnarci sopra: gli altri si avvicinano, come se ci fosse del cibo.
Ricordate che la legge della dinamica può essere anche scritta come
\[ F = \frac{dp}{dt} \]cioè, la forza esterna è data dalla variazione della quantità di moto. Nel nostro caso, la forza è quella fatta dal piano orizzontale per fermare la goccia, che è la stessa forza fatta dalla goccia sul piano. Supponiamo che goccia e chicco di ghiaccio abbiamo la stessa massa, cosa abbastanza vera
Quando la goccia, posizione 1, cade sulla superficie orizzontale, di solito cambia forma, magari si divide in mille goccioline: in generale, comunque, l’acqua resta sulla superficie, posizione 2; l’urto della goccia è completamente anelastico. Se \(m\) è la massa d’acqua e \(v_g\) la sua velocità prima di arrivare a terra, la forza fatta dalla goccia sul piano è
\[ F_{\text{goccia}} = \frac{0 - m(-v_g)}{\Delta t} = \frac{mv_g}{\Delta t} \]Ora consideriamo il chicco di grandine; la differenza sta nel fatto che il chicco è in qualche modo elastico: quando urta il piano non si rompe, ma rimbalza indietro, posizione 4
Non sappiamo la velocità del rimbalzo, sappiamo solo che c’è ed è minore della velocità di caduta, un po' di energia se ne va nell'urto, magari nel rumore che fa. Sfruttiamo la nostra esperienza: quando cade la grandine, quanto è grande il rimbalzo di un chicco?"
"Circa tre zampe" risponde Grigio.
"Per me sono almeno cinque zampe" afferma Rosso.
"Ok, traducendo, il rimbalzo potrebbe essere di circa 5 cm; allora, dalla conservazione dell’energia meccanica, trascurando l’attrito con l’aria..."
"Ma prima non l’abbiamo trascurato, tanto da ottenere la velocità limite. Possiamo considerare l'energia conservata?" interviene Tricolore.
"Non nell'urto, ma in quello che succede subito dopo, sì: qui la velocità è bassa ed il tragitto molto breve; quindi, facendo i calcoli, energia cinetica in basso ed energia potenziale in alto per \(h =\) 5 cm, la conservazione mi dice che la velocità con cui rimbalza il chicco è
Per il chicco di grandine la forza esercitata è
\[ F_\text{chicco} = \frac{mv_r - m(-v_c)}{\Delta t} = \frac{m(v_r + v_c)}{\Delta t} \]"E come facciamo a trovare \(\Delta t\) ? chiede Tricolore
"In effetti, sappiamo solo che è molto piccolo, come in tutti gli urti, ma possiamo pensare che sia lo stesso per la goccia e per il chicco. Allora facciamo il rapporto tra le due forze, che non dipende dall’intervallo di tempo in cui avviene l’urto:
Eccolo qui il motivo per cui il chicco fa più male della goccia: la forza fatta sul piano è il 50% più alta per il chicco!"
Gli uditori restano in silenzio; Cloe aggiunge:
"Da qui la sensazione di dolore quando un chicco vi colpisce. Notate anche che la massa non c’è: il rapporto dipende solo dalle velocità"
"Il rapporto. - dice Tricolore - Perché invece le forze dipendono dalla massa, eccome"
"Certo, un chicco da 10 grammi fa molto male, ma sempre il 50% in più di una goccia di 10 grammi"
"Quindi - conclude Grigio - confermiamo che è bene non andarsene in giro sotto la grandine"
"M(i)aaaaooo… vorrei sapere se è bene correre quando piove..." dice Rosso.
"Questa è una cosa divertente ma un po’ lunga, ne parliamo la prossima volta. Per oggi abbiamo discusso abbastanza. Se volete potete restare qui al riparo, ma io vado: ho sentito dal profumo che il mio umano sta preparando il pollo e se non mi faccio sentire, gli posso sottrarre un pezzo d’ala... e faccio anche un po’ di movimento, che ne sento proprio il bisogno... Miaoo"
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