La Spirale di Archimede

La scorsa volta, Cloe (la mia gatta), ha spiegato la forza di Coriolis ai suoi discepoli felini, fornendo la traiettoria di una pallina lanciata da un sistema che sta ruotando, descrivendola in quel sistema. Ha detto, a ragione, che il calcolo non è proprio semplice e che quindi dovevano fidarsi dei suoi dati.

Il problema

Ci ho pensato qualche giorno nei momenti di buco e mi pare di aver trovato un modo più semplice per descrivere questa traiettoria, senza dover risolvere l’equazione vettoriale della dinamica. Propongo quindi il problema a Cloe, senza far caso al fatto che si trova sulla poltrona ad occhi chiusi: una pallina viene lanciata in avanti da un’auto in curva. Fino a che la pallina è nella mano (o meglio, nella zampa) del lanciatore sulla macchina, risente di una forza centripeta; ma nel momento in cui lascia la zampa, non c'è alcuna forza e prosegue su una linea retta, trascurando la resistenza dell’aria.

"Certo - mormora Cloe - la pallina non si porta certo dietro il movimento rotatorio! Niente forze, linea retta!"

Quindi nel sistema inerziale, per esempio il marciapiede, la traiettoria è una linea retta; se pongo l’asse \(y\) nella direzione del lancio, l’origine nel centro di rotazione dell’auto e l’asse \(x\) diretto verso l’esterno, la sua traiettoria, tangente alla circonferenza, è descritta dal vettore \[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}t \] dove \(\vec{r}_0 = (R,0,0)\) è la posizione iniziale al momento del lancio (\(t=0\)), mentre la velocità è data da \(\vec{v} = (0,v,0)\). R è il raggio della curva fatta dall’auto; quindi la posizione è data da \[ \vec{r}(t) = (R, vt, 0) \] L’asse \(z\) è diretto verso l’alto e rappresenta l’asse di rotazione. Con la normale notazione cartesiana, la retta della traiettoria potrebbe essere scritta come \(x=R\). Sappiamo che nell’auto, a causa della rotazione, la traiettoria non può essere una linea retta. Allora, la domanda è questa: invece di risolvere l’equazione del moto nel sistema in rotazione, perché non effettuare una trasformazione geometrica e descrivere la retta del sistema inerziale trasformata nel passaggio al sistema rotante?

Cloe apre un occhio: "Rrrrr, facendo così terresti conto sia della forza centrifuga che di quella di Coriolis?"

Secondo me sì, dico io, perché le forze fittizie sono introdotte proprio per giustificare quello che alla fine è solo un problema di osservatori diversi.

"Vediamo: - fa Cloe - prova a fare la trasformazione e quando hai i risultati, mi svegli e ne discutiamo"

Lo sviluppo

Ok, procediamo; i sistemi li ho già piazzati, quindi si tratta di scrivere la retta precedente vedendola da un sistema rotante; questo sistema ruota con velocità angolare ω diretta lungo l'asse z, cioè le componenti della velocità angolare sono \[ \vec{\omega} = (0,0,\omega) \] Il vettore posizione nel sistema rotante è dato dall'applicazione della matrice di rotazione per un angolo \(\vartheta = \omega t\) al vettore iniziale: \[ \vec{r}'(t) = R(\omega t) \vec{r}(t) \] Usando l’espressione per una rotazione attorno all’asse \(z\) con velocità angolare ω, l’espressione diventa \[ \vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} \cos(\omega t) & \sin(\omega t) & 0 \\ -\sin(\omega t) & \cos(\omega t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ vt \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R \cos(\omega t) + vt\sin(\omega t) \\ -R\sin(\omega t) + vt\cos(\omega t) \\ 0 \end{pmatrix} \] Questa è proprio la spirale di Archimede, che aumenta il raggio man mano che gira: Cloe, vieni a vedere!

Cloe riemerge dalla poltrona e commenta: "Sì, però c’è qualcosa che non mi torna: \(v\) è la velocità iniziale della pallina nel sistema inerziale, ma sarà funzione della velocità dell’auto, grazie alla composizione delle velocità: dentro \(v\) c’è una dipendenza da ω"

Hai ragione, poniamo che \(v_0\) sia la velocità di lancio rispetto alla macchina e \(v_c\) la velocità dell’auto: \[ v = v_c + v_0 = \omega R + v_0 \]

"Inoltre... - dice pensierosa Cloe - preferirei che comparisse la velocità dell'auto, più comprensibile rispetto a quella angolare..."

Va bene, eseguo! \[ \vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} R \cos(\frac{v_c}{R} t) + (v_c + v_0)t\sin(\frac{v_c}{R} t) \\ -R\sin(\frac{v_c}{R} t) + (v_c + v_0)t\cos(\frac{v_c}{R} t) \\ 0 \end{pmatrix} \]

"Bene! Mi piace! Ora prova a fare un grafico \(xy\) in funzione del tempo, ponendo la velocità dell'auto a 50 km/h, il raggio della curva a 40 m e la velocità iniziale della pallina di 5 m/s"

Implementare la cosa su Geogebra è semplice, basta usare la funzione Curve (nome azzeccato, direi) e trasformare i km/h in m/s:

"Bene, mi torna. E guardando tutta la curva?"

Tutta mette male, visto che continua ad ingrandirsi... comunque ecco uno zoom rimpicciolito:

"Eccola, come si vede bene!". Quindi avevo ragione, il trasformare geometricamente fa ottenere lo stesso risultato dell'equazione del moto.

"Direi di sì - ammette Cloe, facendo le fusa - e devo dire che è meglio vederla in questo modo invece che risolvere \(\vec{F} = m\vec{a}\) in un sistema rotante". Resta un attimo a pensare, poi:

"In questo modo è facile anche cambiare le condizioni del problema: per esempio, se il micio in auto tirasse la pallina verso il guidatore (che poi è quello che interessa), cosa cambia?"

Beh, la velocità della pallina è sempre la somma delle velocità dell'auto rispetto al marciapiede e della pallina nel sistema rotante, solo che devo sommarli come vettori: \[ \vec{v} = \vec{v}_c + \vec{v}_0 = (0, v_c, 0) + (-v_0, 0, 0) = (-v_0,v_c,0) \] e quindi la posizione diventa \[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + (-v_0,v_c,0)t = (R - v_0t, v_c t, 0) \] quindi c'è il tempo anche nella direzione \(x\), ma resta sempre una spirale. Naturalmente, nel sistema inerziale del marciapiede resta sempre una retta, ma inclinata; dato che la velocità in quel sistema è \( (-v_0, v_c, 0) \), l'angolo che forma con l'asse \(x\) è \[ \tan \alpha = -\frac{v_c}{v_0} \]

"Miaooouu! - uno sbadiglio, mentre si stira - Interessante questa cosa: come un modello geometrico possa evitare di risolvere un’equazione vettoriale e anche che lo possa usare per situazioni iniziali differenti. Bisogna che mi ricordi di dirlo agli altri"

Dirlo a chi?

"Niente, è un modo di dire… e ora è meglio che vada a sdraiarmi sul divano nella stanza a fianco, oggi ho dormito poco e non vorrei ti venisse in mente altro".

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I sistemi che ruotano

Era ormai qualche giorno che notavo che Cloe si strofinava in certi punti del balcone e del giardino (per chi non lo sapesse, Cloe è la gatta che permette a me e mia moglie di vivere sotto il suo tetto - inoltre ha la passione per la Fisica), qualche unghiata in giro, con la scusa di stirarsi. In seguito, altri gatti passavano annusando; i segnali c’erano tutti: Cloe stava organizzando una riunione.

Infatti, ora eccoli tutti lì, dietro un cespuglio: Cloe su una pietra e altri quattro gatti attorno, attenti a quello che sta per succedere (attenti come sanno esserlo i gatti: due si stanno leccando il pelo, uno guarda il vuoto e l’altro fa finta di dormire).

"Bene - fa Cloe - forse ci raggiungerà ancora qualcuno, ma è meglio partire. Vorrei discutere di cosa succede quando siamo in un sistema girevole"

"Effetti pratici?" chiede Gatto 1.

Cloe lo guarda con aria decisa: "Prima di tutto, sapere le cose ci permette di muoverci meglio; secondo, se vuoi l’esempio, pensa di nuovo al trasportino dentro un’auto che sta svoltando".

"Nessuno ti obbliga, puoi sempre andare a caccia di lucertole" questa è Gatta 3. Gatto 1 risponde soffiando.

"Quindi - fa Cloe - il nostro amico dentro l'auto, non essendo soggetto a forze non equilibrate, si dovrebbe muovere sempre in linea retta, senza cambi di velocità; abbiamo visto cosa succede quando l’auto frena o accelera, ma quando l’auto svolta?"

"La so!" - si risveglia Gatto 4 - "Quando un oggetto segue una linea curva, ci deve essere una forza centripeta che lo tira verso l’interno. Come la forza d’attrito fra gatto e sedile!

"Lo sapevo anch’io - dice Gatto 2 - e so anche che potrei calcolare la forza d’attrito minima necessaria, basta conoscere la velocità dell'auto, la massa del gatto e il raggio della curva"

"La massa non ti serve - interviene Gatto 1 - la forza centripeta necessaria deve essere fornita dall'attrito, per cui basta uguagliare le due forze e risolvere l'equazione:

\[ \mu N = \mu mg = m\frac{v^2}{r} \] da cui il coefficiente di attrito è \[ \mu = \frac{v^2}{rg} \]

Più vai veloce e più è stretta la curva, maggiore deve essere l’attrito. Vi sarà capitato di voler fare una curva a 90°: in casa l’attrito statico e quello dinamico sono molto bassi, specie tra unghie e pavimento: i miei umani continuano a lucidarlo..."

"Io lo faccio solo in giardino - dice Gatto 2 - In casa è bene muoversi a bassa velocità"

"Vedo che siete preparati - interviene Cloe - ma qualcuno mi sa spiegare perché il nostro amico nel trasportino si sente spingere verso l’esterno della curva? La forza d’attrito è centripeta, cioè verso l’interno! Chi ha idea del perché?"

I quattro si guardano, ma nessuno risponde. Riprende Cloe:"È di nuovo questione di riferimento! Il trasportino fa parte di un riferimento che ruota, quindi non inerziale! Vi ricordate cosa abbiamo dovuto fare l’altra volta con il riferimento in frenata?

"Abbiamo aggiunto una forza fittizia in direzione opposta all’accelerazione!" risponde Gatta 3.

"Esatto! Qui facciamo la stessa cosa! Il nostro amico in auto è costretto a introdurre una forza fittizia verso l’esterno (centrifuga), data dalla sua massa per l’accelerazione."

"Ho capito - interviene Gatto 1 - Visto che il trasportino in questo riferimento rotante non si muove, l’uguaglianza è tra forza centrifuga verso l’esterno e attrito verso l’interno. E dato che l’accelerazione del sistema è \( v^2/r \), l’equazione che si ottiene è la stessa ottenuta prima"

"Ottimo! - miagola Cloe - Riassumendo: da fuori, sistema inerziale, il trasportino segue una curva, quindi forza centripeta. Da dentro, siamo fermi nel sistema non inerziale, introduciamo la forza fittizia ed il problema è una questione di statica, dato che lì non si muove nulla. Spesso si parla di forza centrifuga, ma pochi sanno che così facendo si sta considerando il sistema non inerziale"

"Ok - dice Gatto 4 - ma il problema delle cause? Se guardo dal marciapiede, la causa del moto circolare è l’auto che svolta. Ma se mi trovo nell'auto, il dover aggiungere questa forza mi autorizza a dire che sono su un riferimento rotante?"

"Questa è un’osservazione acuta! - miagola nuovamente Cloe - Dall’auto, potresti arrivare a due conclusioni diverse, che valevano anche l’altra volta per la frenata - comincia a disegnare con la zampa sul terreno:

• Primo: non ci sono motivi visibili che spieghino la forza che spinge verso la portiera dell’auto; per cui deve essere una forza fittizia, quindi sono in un sistema non inerziale. Poi, se sono spinta verso la porta, capisco che questa forza è perpendicolare alla velocità, per cui sto percorrendo una curva
• Secondo: qualcosa mi attrae verso la porta e dipende dalla mia massa, quindi sono entrato in un campo gravitazionale rivolto verso la porta, che si aggiunge al solito peso verso il basso

"È la solita uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale - dice Gatta 3 - proprio come il caso del gatto che cade dell’altra volta"

"...e comunque pensate un attimo: se siamo su una curva, per fare esperimenti dobbiamo aggiungere la forza centrifuga, ma anche trovare quale sia una forza (reale, questa) che ci permette di stare sulla traiettoria! Se infatti non avessimo, per esempio, l’attrito, non potremmo continuare a curvare!"

"A chi lo dici..." - interloquisce Gatto 1

"Inoltre - continua Cloe - in un sistema che ruota succedono cose divertenti, di cui dobbiamo tenere conto! Supponete di avere sul sedile una pallina e che vogliate tirarla con una zampata verso il vostro umano, che vi sta portando dal veterinario: prendete la mira... zap! Ma l’auto è in curva e la pallina finisce sul vetro, invece che in testa all’umano! Cosa è successo? La pallina è truccata?". (noto che a nessuno viene in mente che potrebbe essere solo una mira errata...)

"È vero! - salta su Gatto 2 - Appena lanciata, la pallina prosegue in linea retta, ma l’auto segue una traiettoria curva!"

"E quindi - si inserisce Gatta 3 - noi dall’auto vediamo la pallina curvare dall’altra parte! Quindi dobbiamo tenerne conto: di quanto devo spostare la mira? La cosa mi diverte!"

"Eh… - risponde Cloe - trattandosi di un moto rotatorio, di lineare non c'è niente, l’ampiezza dello spostamento dipende da un mucchio di cose: ho fatto un calcolo sommario e per una velocità dell’auto di 50 km/h, una curva di raggio 20 m, velocità della pallina di 1 m/s rispetto all’auto ed il tuo bersaglio è a 1 metro, lo spostamento è attorno ai 5 cm in verso opposto alla curva. Infatti il grafico che viene fuori con questi dati è:"

"dove il punto 0 è il punto di lancio, nella direzione x’ (in avanti) e l’auto sta girando verso destra. L’asse x’ indica la distanza del bersaglio e y’ indica di quanto spostare la mira. La curva viene chiamata Spirale di Archimede; il risultato per distanze maggiori può essere diverso, ma a noi interessa meno..."

"Uhm… - fa Gatto 1 - dovrò fare qualche prova... non è proprio intuitiva"

"Eh, infatti - dice pensosa Gatta 3 - quando c’è qualcosa che gira, l’intuito non serve più a niente"

"Vi dirò: - dice Cloe - continuo a stupirmi che gli umani, anche se non tutti, comprendano queste cose... - resta un attimo a pensare, poi riprende - Comunque, riassumendo vi do i risultati finali: se siete su un sistema che sta ruotando, dovete aggiungere due forze fittizie: quella centrifuga:

\[ F_\text{centr} = -m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r} ) \quad \text{che alla fine significa } -m \omega^2 r \quad\text{in direzione radiale} \] e quella di Coriolis: \[ F_\text{Coriolis} = -2m \vec{\omega} \times \vec{v}_r \quad\text{che diventa } -2m\omega v_r \] dove \( \vec{v}_r \) è la velocità della pallina nel sistema rotante. Questa forza si applica infatti solo ai corpi in moto nel sistema non inerziale; se sono tutti fermi, c'è solo la centrifuga. In caso contrario, la forza sui corpi in moto è perpendicolare sia a \(\omega\) sia a questa velocità. Nel caso dell’auto, dove \( v_r \) è diretta in avanti e \( \omega \) è verso l’alto, la forza è verso l’esterno della curva (occhio al ‘meno’ nella formula!). Poi ci sarebbe anche la forza di Eulero, se l’auto cambia velocità con accelerazione angolare \( \alpha \) mentre sta curvando: \[ F_E = -m\vec{\alpha} \times \vec{r} \] ma se l’accelerazione tangenziale è nulla, questa scompare".

Gatto 4 interviene: "Ma noi siamo sulla Terra, che è una palla in rotazione costante: sentiamo queste forze, a parte quella di Eulero?"

"Certo che le sentiamo - risponde Cloe - ma a noi interessa poco: se lanciassimo una pallina a chilometri di distanza dovremmo tenerne conto, ma non abbiamo quella necessità. Invece la forza di Coriolis è importante sui venti; infatti l’atmosfera non è legata alla Terra: è come se fossero milioni di palline che dal loro punto di vista stanno andando diritte, ma la rotazione terrestre fa apparire il moto curvo, come la pallina sulla macchina."

"E la forza centrifuga? - chiede Gatta 3 - la Terra è una sfera che ruota su un suo asse, quindi in ogni punto la centrifuga ha una direzione diversa rispetto alla superficie"

"Quella agisce sul nostro peso apparente: infatti ai poli, dove non si sente la forza centrifuga, siamo più pesanti e all’Equatore più leggeri, dove la centrifuga è massima. Magari ne parleremo meglio in un'altra occasione"

Cloe si guarda attorno e, vedendo che non ci sono più domande, decide che la riunione è terminata:
"Allora, abbiamo discusso un po’ ed esaminato quante cose divertenti possono venire fuori giocando con i sistemi non inerziali. Ora direi che è tempo che ciascuno elabori per conto proprio: abbiamo faticato abbastanza, un sonnellino ci vuole proprio. Alla prossima volta!"

Ciascuno se ne va per conto suo, come se si fossero trovati lì per caso. Io ho qualche proposito sulla spirale di Archimede, ma prima devo verificare un po’ di cose...

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La velocità di quando stiamo fermi

Dato che in questo momento siamo fermi, a che velocità ci stiamo muovendo?

Ho mormorato questa domanda, ma ovviamente Cloe, la gatta che ci permette di vivere nel suo appartamento, faceva solo finta di dormire, perché apre un'occhio e...

• Cosa dici? Sono graziosamente sdraiata sulla poltrona, quindi v=0
• Capisco cosa vuoi dire... ma non è proprio così. Lo sai che la Terra ruota su se stessa come una trottola, scusa, come un gomitolo. E sai anche che noi ci stiamo sopra e quindi stiamo ruotando assieme a lei.
• Ok, ok, va bene: le solite frasi da fisico. Ma non sarà che la velocità sia piccola?
• Per questo possiamo fare due conti - dico - la velocità di rotazione della Terra è nota a tutti...
• Sei sicuro? - mi interrompe - Incontro spesso gente che non sa leggere l'ora da un orologio con le lancette
• Ti dico che questa la sanno: la Terra fa un giro su se stessa una volta al giorno, cioè un giro ogni 24 ore, che poi sono 86400 secondi (in realtà sarebbero 23 ore e 56 minuti, ma lasciamo perdere e arrotondiamo). Quindi basta ricordare il raggio della Terra... e la sua velocità tangenziale si ottiene dalla formula \[ v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi (6,4\cdot 10^6\, \text{m})}{86400\, \text{s}}\; \text{m/s} \simeq 465\, \text{m/s} \simeq 1680 \, \text{km/h} \] Sarai d'accordo con me che questa velocità non è trascurabile!
• Sai che anche se dormo, sono sempre attenta - mi guarda con aria accusatoria - il tuo calcolo riguarda la velocità all'equatore, ma noi siamo a 44 gradi Nord di latitudine, quindi la nostra distanza dall'asse di rotazione è minore, perciò velocità minore!
• Ok, volevo fare le cose semplici - mi ha preso in castagna - In effetti il raggio da considerare è \(r \cos\alpha\), con \(\alpha\) la nostra latitudine. Rifaccio subito il conto...
• Guarda che la calcolatrice sia in gradi, eh...

Modifico la formula di prima per tener conto del nuovo raggio: \[ v = \frac{2\pi r\cos\alpha}{T} = \frac{2\pi(6,4\cdot 10^6\,\text{m})\cdot \cos(44)}{86400\,\text{s}} \simeq 335\, \text{m/s} \simeq 1200\, \text{km/h} \]

Le faccio notare che, comunque, anche questa è una bella velocità: un aereo di linea è normalmente sotto i 1000 km/h.

• Ora son sicura che mi spiegherai perché non mi si arruffa il pelo quando vado sul balcone - fa lei
• Beh, mi pare ovvio: tutto si sta muovendo con noi alla stessa velocità, atmosfera compresa; andare sul balcone non è come affacciarsi dal finestrino del treno: è come passare da una vettura all'altra dello stesso treno. Inoltre, noi percepiamo un movimento quando c'è un'accelerazione, ma qui si muove tutto con regolarità
• Miaooo: traiettoria circolare! Cosa mi dici dell'accelerazione centripeta?
• Buona osservazione: proviamo a calcolarla, usando la velocità appena ottenuta: \[ a_c = \frac{v^2}{R\cos\alpha} = \frac{(335\,\text{m/s})^2}{(6,4\cdot10^6\,\text{m})\,\cos(44)} \simeq 2,4\cdot10^{-2} \, \text{m/s}^2 \]
• Sì, in effetti è piccola: è attorno alla millesima parte di quella di gravità. Però però però: se ti dico che ti stai dimenticando di qualcosa di molto più grande?
• Cosa intendi?
• La Terra gira intorno al Sole e noi con lei: prova a calcolare quella velocità lì
• Va bene, però devi farmi supporre che l'orbita sia circolare e che non ci siano anni bisestili, altrimenti devo cercare i dati
• D'accordo, tanto il fisico sei tu e decidi le tue approssimazioni. Io sono solo una gatta
• Allora: il raggio medio dell'orbita è di 150 milioni di chilometri ed il tempo impiegato per un giro (che ti ricordo, si chiama periodo) è di 365 giorni, che in secondi è \(86400\cdot 365 = 3,15\cdot 10^7 \)s. Uso la stessa formula di prima: \[ v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi (150\cdot 10^9)}{3,15\cdot 10^7} \simeq 29,9\cdot 10^3\, \text{m/s} \simeq 1,07\cdot10^5\, \text{km/h} \]
• Eccola! Abbiamo ottenuto i famosi 30 km/s, solo che scritti così fanno più impressione. Quindi, rispetto alla velocità di rotazione? Quella non diventa trascurabile?
• Certo che sì: è cento volte minore!
• Prima di concludere, fammi ancora un calcolo: l'accelerazione centripeta di questo moto di rivoluzione
• Ok, con la scusa che non puoi pigiare i tasti della calcolatrice... anche se so che se volessi, sapresti farlo benissimo...
• Gnauuu
• Qui non ci sono problemi di latitudine, supponendo la Terra un punto, per cui \[ a_C = \frac{v^2}{D} = \frac{(29,9\cdot 10^3\,\text{m/s})^2}{150\cdot 10^9\,\text{m}} \simeq 6,0\cdot 10^{-3}\, \text{m/s}^2 \]
• Vedi? Ancora più piccola dell’altra; inoltre le velocità sono talmente diverse che non ha senso considerare che per metà giornata le due velocità si sommano e per l’altra metà si sottraggono: in pratica il risultato è sempre uguale. Aspetta: visto che hai la calcolatrice in mano, con questi dati e la massa della Terra, puoi trovare la forza tra Sole e Terra, ma senza usare la formula dell’attrazione gravitazionale? Me lo chiedevo giusto qualche giorno fa
• Certo! Basta ricordare che \(F = ma\), per cui \[ F = M_T a_C = (5,97\cdot 10^{24}\, \text{kg} ) ( 6,0\cdot 10^{-3}\, \text{m/s}^2 ) \simeq 3,6\cdot 10^{22}\, \text{N} \]
• Perfetto: a me viene lo stesso valore usando invece la formula della gravitazione universale, per cui i tuoi calcoli sono giusti. Quindi confermo che posso tornare a dormire. E nemmeno le forze di Coriolis mi smuoveranno

Si appallottola per bene, muso tra le zampe, il tutto attorniato dalla coda, un po' di fusa e... dorme.

Non posso quindi ricordarle che anche il Sole si muove attorno al centro della Galassia alla velocità media di 230 km/s \(\simeq\) 830 km/h, 3 ordini di grandezza in più rispetto alla velocità di rivoluzione. Tanto mi direbbe che tutte le altre velocità sono trascurabili rispetto a questa, che è l'unica che conta. E siamo così distanti dal centro, che è come se fossimo in moto rettilineo uniforme.

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