Piccola fisica in palestra

Non sono un appassionato di attività fisica, tanto che non ho mai avuto un abbonamento ad una palestra (primo: per il costo - “sembra alto, ma puoi venire quando e quanto vuoi, anche alla sera tardi o al mattino prima di andare a lavorare!” - “ma quando mai” è sempre stata la mia risposta; secondo: l’ambiente della palestra è intrinsecamente competitivo - “quello prima di me ha usato 30 kg, allora cerco di fare la stessa cosa con almeno 31 kg”, sempre stato contrario ai cosiddetti challenge).

Però questo non vuol dire che non faccio nulla: corpo libero a casa e palestre negli alberghi, che stranamente sono quasi sempre vuote, anche se attrezzatissime.

Detto questo, l’ultima volta sono capitato davanti ad una di quelle macchine tutto-fare, che a seconda della leva usata, mettono in esercizio un muscolo diverso; ero interessato a quella parte che simulava i piegamenti sulle braccia o push-up, cosa che si può fare anche dal vero, senza usare macchinari.
Mi sono trovato quindi nel dubbio: quanti chili inserire, senza tener conto dell’utilizzatore precedente? Prima risposta: quelli che riesci a sollevare! Però mi sono ripromesso di affrontare il problema dal punto di vista fisico.

Il modello

Il modello è abbastanza semplice: l’esercizio dei piegamenti richiede che gambe, bacino, torace e testa siano su una linea retta. I piedi, che poggiano sul pavimento, fanno da centro di rotazione. Poi le braccia spingono contro il pavimento e mantengo il sistema (cioè, il corpo) in equilibrio.
Questo non si muove avanti o indietro, ma si limita a ruotare attorno al punto d’appoggio dei piedi, quindi si tratta di lavorare sui momenti delle forze in gioco, rispetto al centro di rotazione. Partiamo in modo semplice: immaginiamo il corpo immobile, con le braccia tese: si tratta di un puro problema di statica, quindi uguaglianza dei momenti.

Mi accorgo subito, però, che sono necessarie alcune approssimazioni:

• Suppongo che il corpo si alzi senza accelerazioni (è ovvio che trascuro quelle iniziale e finale): in questo modo, il momento della forza fatta dalle braccia è sempre uguale al momento del peso e mi basterà uguagliarli per avere il risultato. Chi fa i push-up rapidi esercita un momento certamente più grande, per cui questa approssimazione tende a sottovalutare la forza reale (io invece preferisco farli lenti, in modo che i muscoli lavorino per più tempo e non usino la forza di spunto)
• Il sistema dovrebbe avere due punti di rotazione: la punta dei piedi, sul pavimento e la caviglia: ma penso di poter supporre che la rotazione importante sia quella attorno al punto di contatto col pavimento (vedremo alla fine se avrà avuto senso fare così)
• Non essendo un corpo rigido, sta a chi fa l’esercizio mantenere il corpo su una retta, dalla testa alla caviglia: si tratta di lavorare bene con gli addominali e siamo a posto; il modello non prevede chi lascia arcuare la schiena!
• La forza peso deve essere applicata sul baricentro del corpo, non semplice da trovare: l’osso più grande è il bacino, ma dalla parte opposta c’è la testa, sperabilmente non vuota. Il corpo umano non è rigido (definizione: in un corpo rigido la distanza tra due punti qualunque resta costante): sicuramente sarà su una linea che passa dal centro della testa e tra i due piedi; ma a che altezza da terra? I siti medici affermano che il baricentro (per un corpo in posizione normale e per un fisico nella norma) si trova all’altezza della seconda vertebra sacrale. Su siti di anatomia trovo che questa altezza corrisponde grosso modo a quella dell’ombelico, misura facile da effettuare

In questo modello, indico con \(h\) la distanza tra i piedi ed il baricentro (ombelico) e con \(d\) la distanza dai piedi alle spalle. Aggiungo anche l’altezza totale \(L\), anche se potrebbe non servire. Servirà invece la lunghezza delle braccia \(b\) e la lunghezza dei piedi \(p\) (questa non è la lunghezza della scarpa, ma dalla punta del piede alla caviglia, dove il piede fa perno).

Nella figura, R è la reazione vincolare sui piedi (che poi sarà trasmessa alla caviglia), mg il peso, applicato nel centro di massa e T la spinta sulle spalle. Sono stato in dubbio se considerare le braccia come parte del sistema, ma così mi è sembrato più semplice. Ho indicato con \(h'\) il tratto AD, braccio del baricentro e con \(d'\) il braccio della forza T (tratto AC).

Nota: prima che qualcuno si lamenti dicendo che quello non è il braccio…: per la Fisica il braccio è il vettore \(\vec{b}\) nella formula del momento \( \vec{\tau} = \vec{b} \times \vec{F} \). È chiaro che il risultato sarebbe lo stesso anche per chi vuole vedere il braccio perpendicolare alla forza, ma questa visione è più chiara.

La forza T è la nostra incognita; in realtà, anche R è incognita, ma scelgo il centro di rotazione in A, il braccio di tale forza è nullo e questa scompare dalle equazioni.

Siamo a posto: possiamo calcolare tutto quello serve: l’angolo di inclinazione del corpo rispetto al pavimento si ottiene dal triangolo rettangolo EFC e così per altri angoli e lunhgezze. Però sono un fisico pigro: arriviamo alla formula risolutiva e vediamo cosa servirà veramente per ottenere il risultato, in modo da non fare calcoli inutili.

Cominciamo col trovare il momento della forza peso: con la solita convenzione (antiorario = positivo) questo momento è negativo; il vettore braccio è il segmento AD, la forza è \(mg\) e l’angolo da considerare è \( \beta \), tra la forza peso e la direzione AD: \[ \tau_P = h' mg \sin \beta \] Per trovare l'angolo: \[ \sin \beta = \sin (180 - \delta) = \sin \delta \] tramite le solite relazioni goniometriche. L’angolo \( \delta \) corrisponde all’angolo EAD, che possiamo ottenere tramite il teorema dei seni applicato al triangolo EAD: \[ \frac{h'}{\sin(90+\alpha)} = \frac{h}{\sin\delta} \] Ricordando che \( \sin(90 + \alpha) = \cos \alpha \), abbiamo che \[ \sin\delta = \frac{h}{h'} \cos \alpha \] Resistiamo al desiderio di calcolare \( h' \) e scriviamo il momento della forza peso: \[ \tau_P = h' mg \sin \delta = h' mg \frac{h}{h'} \cos \alpha = mgh \cos \alpha \] Bene! La lunghezza di \(h'\) non entra nella formula: si sarebbe potuto calcolare col teorema del coseno nel triangolo EAD, ma se non dobbiamo farlo… meglio!

Il momento fatto dalle spalle è positivo (verso antiorario); indicando il braccio AC con \(d'\): \[ \tau_T = T d' \sin \gamma \] Con le stesse considerazioni di prima, l’angolo \( \gamma \) corrisponde all’angolo EAC, per cui applicando il teorema dei seni a questo triangolo, si ha: \[ \frac{d'}{\sin (90 + \alpha)} = \frac{d}{\sin \gamma} \quad \Rightarrow \quad \sin \gamma = \frac{d}{d'}\cos \alpha \] Per cui il momento delle spalle è \[ \tau_T = T d' \frac{d}{d'} \cos \alpha = Td \cos \alpha \]

Affinché il tutto resti fermo, i due momenti devono uguagliarsi: \[ Td\cos\alpha = hP \cos\alpha \] Esplicitando il peso, la spinta che devono fare le spalle è: \[ T = \frac{mgh}{d} \] Ecco la soluzione finale! Anche bella a vedersi: dipende solo da grandezze del corpo, se si esclude l’onnipresente accelerazione di gravità.

Nota: mentre il corpo si alza e si abbassa, gli angoli \(\beta\) e \(\gamma\) cambiano; ma questa modifica è contenuta nella dipendenza da \( \alpha \). Per esempio, quando il corpo è orizzontale lungo EF, \( \alpha = 0 \), la formula diventa: \[ \sin \gamma = \frac{d}{d'} \] In quella posizione, infatti, C coincide con F ed il triangolo ECA ha il cateto maggiore uguale a \( d \) e l’ipotenusa uguale a \( d' \) (il corpo abbassandosi mantiene la sua lunghezza, descrivendo un arco di cerchio).

Il risultato

Bene, ora si tratta di inserire i dati numerici. Facendo però attenzione ad una cosa: il valore di \( T \) è in newton, essendo una forza; ma i pesi in palestra sono contrassegnati da numeri che indicano i chili! Niente paura: \( T = mg \) e per trovare la massa corrispondente basta dividere per \( g \). Quindi: \[ T_m = \frac{mh}{d} \]

Se inserisco i miei dati, ottengo 60 kg. Questo significa che le due braccia fanno una forza corrispondente a 30 kg ciascuna. Se l’attrezzo della palestra suddivide il peso totale sulle due braccia, si dovrà impostare 60 kg, ma se invece porta il peso impostato su ogni braccio, dovrò usare 30 kg. Da ricerche in rete, vedo che esistono entrambi i tipi di macchina: per quel che mi riguarda, non sono mai riuscito a superare i 30 kg… spero quindi di aver sempre trovato quel tipo di macchina!

Prima di terminare, avevo promesso di discutere della posizione del centro di rotazione: sui piedi o sulla caviglia? Se proviamo a rifare l’intera procedura considerando una lunghezza zero del piede, il pavimento è lungo EF, quindi il momento del peso è \[ \tau'_P = hmg \sin(90-\alpha)= hmg \cos\alpha \] cioè la stessa espressione trovata prima; la stessa cosa succede con il momento di T. Quindi alla fine il risultato è lo stesso, sia che il corpo ruoti attorno ai piedi o attorno alla caviglia!

L'esperimento

Come in ogni ramo della fisica, per confermare che quanto fatto teoricamente sia vicino alla realtà, ho ripetuto un push-up a casa, appoggiando una mano su una bilancia (che mostra il risultato in kg) e l’altra su una coppia di libri, in modo da avere le mani allo stesso livello. La mia sorpresa è stata grande: nonostante tutte le approssimazioni, la bilancia ha segnato 31.0 kg! Un errore del 3% è ampiamente accettabile!

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