A che velocità si va?

Il problema

C’è stato un periodo in cui, causa un guasto alla macchina, ho dovuto usare il treno per raggiungere il luogo di lavoro. Il treno è bello perché… guida qualcun altro e c’è tempo di fare altre cose, ritardi a parte… e trascurando i 30 minuti a piedi dalla stazione.

Di solito, leggere un libro era la cosa migliore. Poi ho notato che il percorso tra due stazioni era particolarmente lungo, 3 o 4 minuti buoni, per la maggior parte in galleria, prima del rallentamento per la stazione successiva; avevo anche visto che in quel tratto quasi sempre incrociavamo un treno in direzione contraria.

Un giorno il mio interesse si è svegliato: dalla disposizione dei finestrini e dal colore mi pareva un treno identico a quello su cui mi trovavo… Wow, avevo la possibilità di stimare la velocità dei due treni! Come ha fatto a venirmi in mente? Non so, ad un fisico capita!

Preparativi

Che ci vuole? È noto che la velocità media è data dal rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo impiegato a percorrerlo (da quando esistono i tutor in autostrada, lo sanno tutti):

\[ v = \frac{\text{spazio}}{\text{tempo}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

Per il tempo mi ci vuole un cronografo (l’incrocio durava, a occhio, uno o due secondi): ce l’ho attaccato al polso. È il tempo durante il quale vedo passare l'altro treno: quindi la lunghezza da usare è quella del treno (posso pensare di essere fermo e di veder scorrere l’altro treno).

Ora mi devo procurare la lunghezza dell'altro treno: non posso certo misurarlo direttamente! Però, se mi è parso uguale al mio (stesso colore e disposizione dei finestrini), posso supporre che entrambi abbiano la stessa lunghezza.

Sì, ma quale? Una sera vado a cercare che treni vengono usati per i due servizi: bingo! Si tratta di un ETR e dal colore suppongo sia un ETR 425; confermo che ha 5 carrozze (le ho contate all’arrivo) e scopro che quel tipo di treno è sempre composto dallo stesso numero di carrozze, tutte lunghe uguali. Un’altra ricerca ed ho che i due treni sono lunghi 87 m: (il sito mi da anche i centimetri, ma dubito che le mie misure possano essere così precise).

Quindi ho tutto per calcolare la velocità; prima però di cominciare con le misure, devo capire se quello che sto per fare abbia un senso: cioè, il \(\Delta t\) sarà misurabile con la mia strumentazione (cronometro comandato dai miei riflessi)?

Bene: teoria semplice semplice. Io sono su un treno che si muove in direzione contraria all’altro; quindi la velocità con cui vedo passare l’altro è la somma delle due velocità rispetto al terreno; in modo più formale sarebbe (pongo il sistema di riferimento con l’asse parallelo al mio treno e con la stessa direzione, quindi l’altro ha velocità negativa): 

\[ v = v_1 - (-v_2) = v_1 + v_2 = 2 v_1 \]

dove l'ultimo passaggio è giustificato dal supporre che in quel tratto i due treni viaggino alla stessa velocità. Quindi quella misurata sarà una velocità doppia di quella cercata, per cui

\[ v_1 = \frac{1}{2} \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

Ora, questa linea ferroviaria viene definita nuova più per abitudine: ha infatti una quarantina d'anni, per cui suppongo che la velocità massima non sia superiore ai 120 km/h. Quindi l’intervallo di tempo che mi posso attendere sarà all’incirca di

\[ \Delta t = \frac{\Delta x}{2 v_1} \simeq \frac{(87\, \text{m})}{2\cdot [120 / 3,6] \text{m/s}} \simeq 1,3\, s \]

Uhm, bella sfida! Nemmeno due secondi! Per mettermi nelle migliori condizioni, decido di usare solo per l'incrocio in galleria: questa dura circa 4 minuti o meno, devo mantenere la concentrazione solo in quel periodo. Non basteranno un paio di misure per avere un dato sensato: in ogni caso tutto dipende dalla mia prontezza (a fine giornata... brrr). Ci penso un po', ma non trovo modi per migliorare la situazione. Una ricerca in rete mi dice che una persona in genere risponde ad uno stimolo visivo (l’arrivo del treno) entro 250 ms, un quarto di secondo: mah, chissà…
Decido anche di evitare misure in giorni particolarmente stressanti, per non allargare ulteriormente l'errore.

Risultati

Posso fare una sola misura al giorno (solo al ritorno c’è l’incrocio) e al venerdì ho un orario diverso: nel caso migliore sono 4 misure a settimana. Ma poi ci sono i ritardi (di un treno o dell'altro!). La prima settimana è sfortunata: 1 misura sola valida (anche un controllo biglietti proprio in galleria…).

Il primo risultato è di 1,54 s, ma non faccio calcoli su un solo dato, non voglio aggiungere un bias personale, cioè non voglio tendere al risultato giusto.

Insomma, in due mesi e mezzo ottengo una serie di 20 dati: può essere un buon numero, per cui li metto in grafico per controllare che non ci siano trend strani: (per una copia ingrandita, doppio click sulla figura)

(l'asse orizzontale indica solo la sequenza temporale delle misure). Dal grafico non vedo sequenze strane. In aggiunta mi faccio costruire un possibile istogramma:

Con 20 dati cambiando gli intervalli l'istogramma cambia anche di molto, ma il fatto che possa presentare una distribuzione gaussiana mi conforta.

Mi sento quindi autorizzato a dire che la media matematica dei 20 dati potrebbe essere un buon indicatore:

\[ \bar{t} = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N} t_i = \frac{1,54 + 1,30 + \dots + 1.50}{20} \simeq 1,36 \, \text{s} \]

Con questo valore, posso usare la formula calcolata prima:

\[ v = \frac{\Delta x}{2\Delta t} \simeq \frac{(87\, \text{m})}{2 \cdot (1.36\, \text{s} ) } \simeq 31,99 \, \text{m/s} \simeq 115 \,\text{km/h} \]

Incredibile! Il risultato è molto vicino al valore supposto! Ma non ho finito...

Elaborazione

Lo sperimentatore non fisico di solito si ferma qui: c’è un risultato, nemmeno tanto diverso da quello atteso: posso dire che in media la velocità dei treni (entrambi!) è proprio quella? Non proprio!
Dobbiamo tirare in ballo la statistica (appena avrò un po’ di tempo, preparerò una pagina che spieghi qualcosa di quello che stiamo per usare).

Dobbiamo trovare l’indeterminazione sulla misura del tempo, cioè il suo errore casuale. Per queste cose non troppo avanzate di solito uso risorse online: un sito particolarmente adatto per trovare gli intervalli di confidenza è statskingdom, dove vado a scegliere il capitolo indicato con Mean Confidence Interval. Nella pagina scelgo Row Data come tipo di dati e poi li incollo nel campo corrispondente; scelgo di mantenere gli outlier (non ci sono infatti punti molto diversi degli altri) e dichiaro di non conoscere la deviazione standard (attenzione: il sito accetta il punto come carattere decimale, per cui se abbiamo usato Excel in italiano abbiamo la virgola; prima di fare un copia incolla dobbiamo sostituire le virgole con il punto):

Inoltre scelgo di avere il risultato arrotondato a 2 cifre decimali e una confidenza del 99%; poi clicco sul pulsante Calculate ed ecco il risultato:

Mean confidence interval: [1.28, 1.44]
Alternatively: 1.36 \(\pm\) 0.079

Quindi, ripetendo 20 volte la misura, l’errore finale si aggira sugli 0,08 (8 centesimi) secondi! Il fatto che i dati originali stiano tra 1,1 s e 1,6 s, ma l’intervallo di confidenza trovato sia più stretto [1,28; 1,44]… beh, questi sono i prodigi della statistica!

Per trovare l’indeterminazione sulla velocità trovata, uso un metodo abbastanza artigianale, ma funzionante: considero che la lunghezza del treno sia praticamente senza errore. L’unico è allora sull’intervallo di tempo. Eseguo due volte il calcolo della velocità, la prima usando il valore massimo del tempo [1,44 s], la seconda usando il valore minimo [1,28 s] ed i risultati sono:

\[ v_{m} = \simeq \frac{(87\, \text{m})}{2 \cdot (1.44\, \text{s} ) } \simeq 30,2 \, \text{m/s} \simeq 99,7 \,\text{km/h} \qquad v_M \simeq \frac{(87\, \text{m})}{2 \cdot (1.28\, \text{s} ) } \simeq 33,98 \, \text{m/s} \simeq 122 \,\text{km/h} \]

Il valore vero di quanto misurato deve stare, al 99%, entro l’intervallo [99,7 ; 122] km/h.

Discussione

Non abbiamo finito del tutto: facciamo una analisi a posteriori: questa misura è corretta se:

• il ritardo con cui ho cliccato su Start del cronometro quando è comparso il treno dal finestrino è uguale a quello con cui ho cliccato Stop quando ho visto la coda del treno. In effetti dipende dalla direzione in cui ero seduto: se vedo il treno venire verso di me, può essere che lo veda un poco prima. Lo stesso per la coda. Questo può influire sulla durata dell’intervallo di tempo: potrebbe aver allargato la variabilità. Tipo errore: casuale. Correzioni? Nessuna che mi venga in mente. Effetto finale? Forse l’indeterminazione reale potrebbe essere più stretta.
• L’evento 'inizio treno' appare di colpo, mentre quello 'fine treno' è atteso: se esiste questo effetto, sarebbe di tipo sistematico, in quanto la misurazione potrebbe aver fornito un valore più breve, portando ad una velocità più alta del reale. Posso valutare che sia attorno al tempo di reazione: 2 decimi di secondo. Usando la formula della velocità, potrei aver sopravvalutato la velocità di 2 km/h.
• Il mio tempo di reazione ai due eventi 'inizio treno' e 'fine treno' potrebbe essere stato diverso in giornate diverse: più o meno stanchezza, ecc… Stesse conclusioni del primo punto.
• La velocità del mio treno (e anche quella dell’altro) potrebbero essere diverse in giorni diversi. Anche qui valgono le stesse considerazioni del primo punto.

Queste analisi dei possibili errori mi dicono in sostanza di accettare il valore ottenuto; anche se lo abbassassi di 2 km/h, come discusso al secondo punto, la sostanza non cambierebbe.

Conclusione

Con le ipotesi descritte, la velocità dei due treni sta nell'intervallo calcolato. È un esempio di esperimento che non può essere fatto in laboratorio, in condizioni controllate; per migliorare la misura, dovrei usare delle foto-cellule per registrare il passagio del treno, supponendo che i riflessi del finestrino con creino immagini fantasma e che sia possibile registrare bene la sensibilità della foto-cellula... ma andiamo oltre lo scopo: dovremmo comunque ammettere che sarebbero possibili altri errori, probabilmente maggiori. In ogni caso, con l’aiuto della statistica si può avere un’indicazione sulla ragionevolezza del risultato e alla fine avere in mano un dato sensato.

Due parole sul significato del 99%: il metodo statistico ci dice che, se potessi fare un grande numero (infinito) di queste misure (ciascuna con 20 dati), nel 99% dei casi troverei il risultato finale nell’intervallo indicato.

P.S.: se vi troverete in treno e non saprete cosa fare… non avete più scuse!

* * *

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L'inizio

Presentazione

In questo blog parlerò principalmente di Fisica… essendo un fisico, dovrebbe essere ovvio. Ma spesso oggi si trova gente che parla di qualcosa che non conosce, per cui meglio precisarlo. 😄

Però: in rete ci si aspetta che un fisico parli di particelle virtuali, nascita dell'Universo, bosone di Higgs, curvatura dello spazio-tempo... Ok, avrò occasione di parlarne, ma dobbiamo mettere in conto che la Fisica entra nella vita di tutti i giorni ed è già questa che spesso è sconosciuta.

Come si spiega che un pallone possa percorrere una traiettoria curva? Che pesi devo mettere in palestra per simulare le flessioni sulle braccia che faccio a casa? Come spiego che una moto debba piegare in curva? Come si spiega che sulla stazione spaziale vagano senza peso? Come devo miscelare acqua calda e fredda per avere una vasca confortevole? In nessuno di questi e altri casi è necessaria la meccanica quantistica o relativistica, nonostante alcune di queste domande non siano proprio così semplici come sembrano.

Il limite della Fisica

Non ho mai usato "perché" nelle frasi precedenti, ma solo "come spiegare", "come descrivere”.

Lo scopo della Fisica non è di trovare un perché ultimo (perché succede così?), ma solo di riuscire a descrivere, cioè di introdurre un modello (matematico) qualitativo e poi quantitativo. Però non si risponde alla domanda "perché la Natura ha scelto questo modello?". La vera natura delle cose è inconoscibile: cosa è vero veramente? La natura non conosce i nostri modelli; dobbiamo sempre mettere in conto che esista un effetto, un parametro sconosciuti, che in certe condizioni possono stravolgere il nostro modello. Possiamo solo dire che possiamo prevedere quello che succede e basta. La Natura non lo fa certo apposta; se potesse parlare, potrebbe dire ad uno scienziato: “non faccio altro che funzionare allo stesso modo da sempre, sei tu che non te ne sei mai accorto” e aggiungerebbe “e vedrai tra un po’…”.

L'approccio

Il problema della Fisica nel rapporto con le persone sta proprio nel suo essere descrizione del mondo. Per cui il primo approccio è di solito: “non c’è bisogno di perdere tempo: se calcio un pallone questo si muove, se spingo un vaso dal balcone questo cade, so come funziona la realtà”.

In situazioni poco più complesse non sempre la risposta "ovvia" è quella corretta. Figuriamoci quando si va su temi che non sono direttamente sotto i nostri sensi (per esempio il fattore tempo in relatività, il concetto di campo...).

Purtroppo per avvicinarsi ad una minima comprensione... occorre studiare! Per comprendere meglio il significato di un modello, occorre avere basi di matematica (che diventa un po’ il linguaggio della Natura), cosa poco di moda oggi.

Mi spiace quando leggo sui social domande del genere “per me la gravitazione ha un significato diverso”, oppure “si dice che se viaggio veloce, vivo a più a lungo, ma per me non è vero”. Non me le sono inventate: sono domande prese da alcuni social su gruppi dedicati alla Fisica.

E ogni tanto la reazione alle risposte è “non ho capito, cercavo qualcosa di semplice", oppure "non c'è bisogno di sfoggiare tutto questo sapere”. Risposte che come minimo fanno alterare chi risponde, mentre come massimo… beh, il flame (è un termine che non si usa più, chissà perché) è dietro l’angolo in ogni conversazione che non prevede la presenza in carne ed ossa.

Il fatto è che se si vuole comprenderla, la Fisica deve essere stu-dia-ta; non esistono scorciatoie.

Qualcuno risponderà: ma... e la divulgazione?

Divulgazione

Già, parliamone. Cosa intendiamo con questa parola? Ci provo: far capire un argomento senza entrare nei dettagli; quindi spiegando per sommi capi come si è arrivati ad un modello, accennando ai problemi e alle  soluzioni, ma da una vista a volo d’uccello: cioè, guardare la parte emergente di un iceberg (che, per una legge fisica, guarda un po’, è minima rispetto a quella immersa).

Circola una citazione che si dice sia di Feynman: hai capito un argomento quando riesci a spiegarlo ad un bambino. In realtà non ho trovato una conferma storica di queste parole. Di sicuro Feynman diceva invece che per capire un argomento bisogna passare attraverso 4 passi:

1. scegliere il concetto da imparare
2. spiegarlo come lo si stesse insegnando ad un bambino
3. identificare i punti che non sono comprensibili, rivedendo e ristudiando
4. semplificare ancora, usando analogie

Lo scopo di questo procedimento non è di "spiegare ad un bambino", ma di imparare un argomento. Se ci penso un attimo, è il procedimento che usavo all'università quando trovavo qualche difficoltà o mi stavo preparando per un esame.

La divulgazione è altro.

A questo proposito, lascio la parola al Nobel Giorgio Parisi (“Gradini che non finiscono mai”, Editore La Nave di Teseo, 2022):

Divulgazione non è la parola migliore che si possa usare. Suggerisce che qualcuno abbia una buona novella… La scienza non è questo… a volte la scienza viene presentata in maniera magica e a questo punto diventa una pseudo-magia… non possiamo poi sorprenderci se le persone preferiscono la magia vera. Comunicare la scienza in maniera precisa e non pseudo-magica è un compito estremamente importante… bisognerebbe rimanere molto lontani dalla volontà di stupire. Non è questo che può fare presa.

La situazione è questa: una persona guarda un video YouTube in cui una calamita scende con velocità minore del previsto lungo un certo piano inclinato, con il commentatore che dice "guardate che figo! Non accelera! W la fisica!". La persona pensa "È vero! Che bello! Se me l'avessero fatta vedere così, a scuola non avrei avuto problemi!". Poi si chiude il browser e si parla d'altro. Questa non è Fisica, è magia, come dice Parisi. E si rischiano risultati opposti a quelli attesi (ho sentito un ragazzino dire che fisica gli piaceva perché c'è poca matematica...).

Invece, il fisico, dopo aver detto anche "Figo!", pensa: “Ok, ma cosa succede? Come si spiega? Vorrei capire da cosa dipende. Devo descriverlo e scoprire le leggi coinvolte”.

L’approccio divertente è bello a vedersi, può essere utile per avvicinare qualche persona in più alla Fisica e alla Scienza in generale. Ma se si vuole capire qualcosa, non basta: bisogna studiare, perdere del tempo sui libri o magari sui siti giusti in rete. Nulla in Fisica arriva gratis (anche nella vita, eh!). Vuoi capire cosa sta dietro ad una legge fisica? Studiala (buon peso, aggiungi anche la Matematica coinvolta).

Nessuno è obbligato a fare questo passo; da un lato sarebbe bene che ciascuno di noi abbia un minimo di conoscenza un po’ su tutto, giusto per non farsi fregare dal primo che propone integratori basati sulla quantistica; poi ciascuno approfondirà le cose che lo interessano. Restando cosciente che non potrà discutere di cose che non conosce (come fisico, non discuto con un medico delle malattie rare e nemmeno con un pilota su come condurre un aereo).

Il piano

L'idea è di beccare un argomento che mi ha dato da pensare, oppure una domanda fatta durante il giorno, cose casuali; insomma, un pretesto per parlare di Fisica (e di Matematica). Spesso si tratterà di applicare la Fisica a qualche evento, quotidiano o meno.

Ci saranno post noiosi, divertenti, didattici o altro. Dove possibile, il linguaggio matematico sarà minimo, in altri… no. Alcuni concetti potrebbero non essere semplici e ci vorrà un po’ di pazienza (sia per me che per gli eventuali lettori). I commenti saranno aperti ma moderati (niente spam).

Ed i post non saranno immutabili: potrebbero essere modificati se scopro un modo migliore (o magari un errore - li fanno tutti!). Preparerò un indice per potersi muovere tra gli argomenti (il link è subito qui sotto).

 Ultima nota : so di non essere l'unico che pensa di usare la rete per diffondere contenuti scientifici ed ho trovato persone preparate, magari in modo diverso e talvolta più di me; ma più siamo, meglio è. Quanti più contenuti si riescono a portare allo scoperto, quanto più diminuiranno le sciocchezze (anche dette fake news, se vogliamo essere smart...)!

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Lo stesso link si trova, sempre disponibile in ogni post, subito sotto al titolo

Bio

Qualche informazione su di me. Che sono un fisico, l’ho già detto. Appassionato di Informatica già dalla fine degli anni ’70 del secolo scorso, quando i computer occupavano una stanza di medie dimensioni e venivano nutriti a schede perforate. Primo lavoro in una multinazionale legata all’immagine fotografica: metodi di misura, statistica e altre belle cose. Poi una decina di anni a sviluppare e gestire software. Nel frattempo ho creato qualche app e web app per conto mio, con qualche piccola soddisfazione. Poi, (considerando che mi è sempre piaciuto insegnare) il passaggio all’insegnamento in un liceo, un’altra decina d’anni, con l'idea di  poter portare qualcosa dalla mia esperienza precedente; se ci sia riuscito o meno, non sta a me dirlo. So solo che sono rimasto contento. E così spero che rimangano anche i miei tre lettori (e così ho dimostrato che conosco un po' di letteratura...)